Гипергеометрическая функция

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга $|z|<1$ как сумма гипергеометрического ряда

$F(a,b;c;z) = 1+ \sum^\infty_{k=1} \left[ \prod^{k-1}_{l=0} { ( a + l )( b + l ) \over ( 1 + l )( c + l ) } \right]z^k = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots,$

а при $|z|>1$ — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением.

История

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид

$\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}.$

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера

$z(1-z) \frac{d^2 u}{dz^2} + [c - (a + b +1)z]\frac{d u}{dz} - a b u =0,$

(ДифУрЭйл)

где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и $\infty$.

Когда параметр $~c$ не равен нулю и отрицательным целым числам $(c \neq 0, -1, -2, \ldots)$ регулярное в нуле решение уравнения Эйлера (ДифУрЭйл) будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

$_2F_1(a,b;c;z) \equiv F(a,b;c;z) = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots.$

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение

$(p)_n = \frac{\Gamma(p + n)}{\Gamma(p)},$

где $\Gamma$ — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

$F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n z^n}{(c)_nn!}.$

Нижние индексы в записи $_2F_1(a,b,c;z)$ применяются в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть отличие от других типов обобщённых гипергеометрических рядов. На границе $|z|=1$ ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы $a+b-c < 0$, условно сходится при $z\neq 1$, $0 \le a+b-c < 1$ и расходится, если $a+b-c \ge 1$. Второе линейно независимое решение уравнения (ДифУрЭйл) имеет вид

$\ z^{1-c}F(b - c +1, a - c +1; 2 - c; z)$

Оно имеет особую точку при $z=0$ и справедливо при всех неположительных $~c$ $(c = 0, -1, -2, \ldots)$.

Интегральное представление гипергеометрической функции при $c - a - b > 0$ может быть записано следующим образом:

$F(a,b;c;z) = { \Gamma(c) \over \Gamma(b)\Gamma(c-b) } \int\limits_{0}^{1} t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-tz)^{-a} \,dt,$

где $\Gamma(x)$ — гамма-функция Эйлера.

Запись других функций через гипергеометрическую

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры

• $\left(1+x\right)^n = F(-n,b;b;-x)$
• $x^n = F\left(-n,b;b;1-x\right)$
• ${1 \over x} \ln(1+x) = F(1,1;2;-x)$
• $e^x = \lim_{n \to \infty} F(1,n;1;{x \over n})$
• $\cos x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2}; -\frac{x^2}{4 a b}\right)$
• $\cosh x = \lim_{a,\;b \to \infty} F\left(a,b;\frac{1}{2};{ x^2 \over 4 a b}\right)$
• Полный эллиптический интеграл первого рода:

  $K(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\varphi}} = \frac{\pi}{2} F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right)$

• Полный эллиптический интеграл второго рода:

  $E(k) = \int \limits_{0}^{\pi/2}\!\sqrt {1-k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi = \frac{\pi}{2} F\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2\right)$

• Полином Лежандра:

  $P_n(x)= F(n+1,-n;1;\frac{1-x}{2})$

• Присоединённая функция Лежандра:

  $P_{n,\;m}(x) = (1-x^2)^{\frac{m}{2}} { c(n+m+1) \over 2^mc(n-m+1)c(m+1) } F\left(n+m+1,m-n;m+1;\frac{1-x}{2}\right)$

• Функции Бесселя:

  $J_\nu(x)= \lim_{a,\;b \to \infty} \left[ \frac{\left(\dfrac{x}{2}\right)^\nu}{c(\nu+1)} F(a,b;\nu+1; -\frac{x^2}{4 a b}) \right]$

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 — математические дополнения
• Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124
• Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146