Гипергеометрическая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга |z|<1 как сумма гипергеометрического ряда

F(a,b;c;z) = 1+ \sum^\infty_{k=1} \left[ \prod^{k-1}_{l=0} { ( a + l )( b + l ) \over ( 1 + l )( c + l ) } \right]z^k =
1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots,

а при |z|>1 — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка называемого гипергеометрическим уравнением.

История[править | править вики-текст]

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид[1]

\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n}.

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом.[2] В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнение[править | править вики-текст]

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера

z(1-z) \frac{d^2 u}{dz^2} + [c - (a + b +1)z]\frac{d u}{dz} - a b u =0, (ДифУрЭйл)

где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и \infty.

Когда параметр ~c не равен нулю и отрицательным целым числам (c \neq 0, -1, -2, \ldots) регулярное в нуле решение уравнения Эйлера (ДифУрЭйл) будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

_2F_1(a,b;c;z) \equiv F(a,b;c;z) = 1+ \frac{a b}{c} \frac{z}{1!} + \frac{a (a+1) b (b+1)}{c (c+1)} \frac{z^2}{2!} + \dots.

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение

(p)_n = \frac{\Gamma(p + n)}{\Gamma(p)},

где \Gamma — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

F(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n z^n}{(c)_nn!}.

Нижние индексы в записи _2F_1(a,b,c;z) применяются в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть отличие от других типов обобщённых гипергеометрических рядов. На границе |z|=1 ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы a+b-c < 0, условно сходится при z\neq 1, 0 \le a+b-c < 1 и расходится, если a+b-c \ge 1. Второе линейно независимое решение уравнения (ДифУрЭйл) имеет вид

\ z^{1-c}F(b - c +1, a - c +1; 2 - c; z)

Оно имеет особую точку при z=0 и справедливо при всех неположительных ~c (c = 0, -1, -2, \ldots).[3]

Интегральное представление гипергеометрической функции при c - a - b > 0 может быть записано следующим образом:

F(a,b;c;z) = { \Gamma(c) \over \Gamma(b)\Gamma(c-b) } \int\limits_{0}^{1} t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-tz)^{-a} \,dt,

где \Gamma(x) — гамма-функция Эйлера.

Частные значения при z = 1/2[править | править вики-текст]

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}.

Теорема Бейли выражается формулой:

_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.

Запись других функций через гипергеометрическую[править | править вики-текст]

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \left(1+x\right)^n = F(-n,b;b;-x)
  •  x^n = F\left(-n,b;b;1-x\right)
  •  {1 \over x} \ln(1+x) = F(1,1;2;-x)
 {1 \over x} \arcsin(x) = F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\frac{3}{2};x^2
\right)

Тождества[править | править вики-текст]

  • 27\,(z-1)^2\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^8+18\,(z-1)\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^4-8\cdot{_2F_1}\left(\tfrac14,\tfrac34;\tfrac23;z\right)^2=1
  • И замечательный частный случай предыдущего выражения:
     _2F_1\left(\frac14,\frac34;\,\frac23;\,\frac13\right)=\frac1{\sqrt{\sqrt{\frac4{\sqrt{2-\sqrt[3]4}}+\sqrt[3]{4}+4}-\sqrt{2-\sqrt[3]4}-2}}

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
  • Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
  • Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.