Гипероператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике гиперопера́тор — это обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, на высшие порядки. Гипероператор порядка n с аргументами a и b (обозначаемый a(n)b) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка n-1 к последовательности из b одинаковых аргументов, каждый из которых равен a:

  • сложение a и b — увеличение числа a на количество единиц, равное b:
 a {^{(1)}} b = a + \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{b} = a + b
  • умножение a на b — сложение числа a с самим собой b раз:
 a {^{(2)}} b = \underbrace{a + a + \dots + a}_{b} = a \times b
 a {^{(3)}} b = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{b} = a^b
  • ...
  •  a {^{(n)}} b = \underbrace{a^{(n-1)} a^{(n-1)} \dots a^{(n-1)} a}_{b}

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка n>2 не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных a, b и n ограничиваются целыми неотрицательными числами. Возможные обобщения гипероператоров на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

a {^{(n)}} b = \textrm{hyper}(a,n,b) = a \uparrow^{n-2} b = a \to b \to (n-2)

Происхождение[править | править вики-текст]

Отвечая на вопрос: «Что будет при продолжении стандартной последовательности математических действий?» сложение (+), умножение (×), возведение в степень (^) и учитывая:

  • a + b = 1 + (a + (b - 1))\!
  • a \times b = a + (a \times (b - 1))
  • a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})

рекурсивно определим общую операцию в инфиксной форме:


  a ^ {(n)} b=
  \left\{
   \begin{matrix}
    b+1, & \mbox{if }n=0 \\
    a, & \mbox{if }n=1,b=0 \\
    0, & \mbox{if }n=2,b=0 \\
    1, & \mbox{if }n\ge 3,b=0 \\
    a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{if }n\ge 1,b\ge 1,a\ge 0
   \end{matrix}
  \right.

Тогда гипероператор определяется как \operatorname{hyper\mathit{n}} (a, b) = a ^ {(n)} b и \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b

Распишем для первых натуральных четырёх n:

\operatorname{hyper1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 1, b) = a ^ {(1)} b = a+b

\operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b = a \times b

\operatorname{hyper3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 3, b) = a ^ {(3)} b = a^b

{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a 

\uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop 

{b\mbox{ copies of }a}}

Вычисление слева направо[править | править вики-текст]

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения для эта операция совпадает с Гипероператором при n<4:

  • a+b = (a+(b-1))+1\!
  • a\times b = (a\times (b-1))+a
  • a^b = (a^{(b-1)})\times a

Отрицательное число операций[править | править вики-текст]

При N<0 имеем:

\operatorname{hyper-1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -1, b) = a ^ {(-1)} b = a-b

\operatorname{hyper-2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -2, b) = a ^ {(-2)} b = a/b

\operatorname{hyper-3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, -3, b) = a ^ {(-3)} b = \mathrm{log}_b(a)

При N=-4 получаем суперлогарифм.

Рациональное число операций[править | править вики-текст]

При n=1/3 получаем арифметический корень, а при n=1/4 получаем суперкорень.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
  • Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.