Гиперсфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Стереографическая проекция поверхности 3-сферы на трёхмерное пространство. На рисунке изображены три координатных направления на 3-сфере: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зелёный). В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.
Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфера — гиперповерхность в n-мерном евклидовом пространстве, образованная точками равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

  • при n = 1 гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
  • при n = 2 она представляет собой окружность;
  • при n = 3 гиперсфера является сферой.
  • при n = 4 гиперсфера является 3-сферой.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является (n-1)-мерным подмногообразием в n-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения[править | править вики-текст]

Гиперсфера радиуса R с центром в точке a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\} задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2

Гиперсферические координаты[править | править вики-текст]

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

x = \rho \cdot \cos \alpha
y = \rho \cdot \sin \alpha

а сферические координаты так:

x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta
y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta
z = \rho \cdot \cos \beta

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}
x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}
x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}
\dots
x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}

Якобиан этого преобразования равен

J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}

Площадь и объём[править | править вики-текст]

Площадь поверхности гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.
Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Площадь поверхности ~S_{n} гиперсферы размерности ~n и объём ~V_n, ограниченный ею (объём шара), можно рассчитать по формулам[1] [2]:

~ S_{n} = n C_n R^{n-1}
 V_n = C_n R^n \

где

C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}

а ~\Gamma(x) — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}
C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}

Здесь ~n!! — двойной факториал.

Так как

~V_n / S_{n-1} = R / n
~S_{n+1}/V_n = 2\pi R

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объем для  S_{6} и  V_{5} соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность 1 (длина) 2 (площадь) 3 (объём) 4 5 6 7 8
Единичная

сфера

 2 \pi  4 \pi  2 \pi^2  \frac{8}{3} \pi^2  \pi^3  \frac{16}{15} \pi^3  \frac{1}{3} \pi^4  \frac{32}{105} \pi^4
Десятичная

запись

6.2832 12.5664 19.7392 26.3189 31.0063 33.0734 32.4697 29.6866
Единичный

шар

 2  \pi  \frac{4}{3} \pi  \frac{1}{2} \pi^2  \frac{8}{15} \pi^2  \frac{1}{6} \pi^3  \frac{16}{105} \pi^3  \frac{1}{24} \pi^4
Десятичная

запись

2.0000 3.1416 4.1888 4.9348 5.2638 5.1677 4.7248 4.0587

Обратите внимание, что в строке "размерность" таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства в котором она находится.

Топология гиперсферы[править | править вики-текст]

В данном разделе под сферой S_n будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром B_n — n-мерный гипершар, то есть S_n \hookrightarrow \R^{n+1}, B_n \hookrightarrow \R^n.

  • Сфера S_n гомеоморфна факторизации шара B_{n} по его границе.
  • Шар B_n гомеоморфен факторизации B_n \simeq (S_{n-1} \times [0,1]) / (S_{n-1} \times \{1\}).
  • Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных B_0 = \mathrm{pt} и B_n. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая S_n вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные B_n, и сферу S_{n-1}, являющуюся их общей границей.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т.5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
  2. Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]