Гиперсфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфера — гиперповерхность в $n$ -мерном евклидовом пространстве, образованная точками равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

при $n = 1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
при $n = 2$ она представляет собой окружность;
при $n = 3$ гиперсфера является сферой.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является $(n - 1)$ -мерным подмногообразием в $n$ -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

[править] Уравнения

Гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}$ задается как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

$(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2$

[править] Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

$x = \rho \cdot \cos \alpha$

$y = \rho \cdot \sin \alpha$

а сферические координаты так:

$x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta$

$z = \rho \cdot \cos \beta$

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

$x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin \alpha_{n-1}$

$\dots$

$x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}$

Якобиан этого преобразования равен

$J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \dots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}$

[править] Площадь и объем

Площадь поверхности $S n - 1$ гиперсферы размерности $n - 1$ и объем $V n$ , ограниченный ею (объем шара), можно рассчитать по формулам^[1]:

S n - 1 = n C n R n - 1

$V_n = C_n R^n \$

где

$C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}$

а $Γ(x)$ — гамма-функция Эйлера. Этому выражению можно придать другой вид:

$C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$

$C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}$

Здесь $n!!$ — двойной факториал.

Так как

V n / S n - 1 = R / n

S n + 1 / V n = 2π R

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

$V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}$

[править] Топология гиперсферы

В данном разделе под сферой $S n$ будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром $B n$ — n-мерный гипершар.

Сфера $S n$ гомеоморфна факторизации шара $B n - 1$ по его границе.
Шар $B n$ гомеоморфен факторизации $B_n \simeq (S_n \times [0,1]) / (S_n \times \{1\})$ .
Сфера является клеточным пространством. Клеточное разбиение можно построить по индукции, разбивая $S n$ на две n-мерные клетки $\mathrm{sk}_n\,S_n$ и сферу $S n - 1$ , являющуюся их общей границей.