Гиперциклический оператор

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство (например, банахово пространство). Линейный непрерывный оператор $T:X\rightarrow X$ называется гиперциклическим, если существует элемент $x \in X$, такой что множество $\left\{T^nx, n=0,1,2,...\right\}$ плотно в $X$. Этот элемент $x$ называется гиперциклическим вектором для оператора $T$.

Понятие гиперцикличности является частным случаем более широкого понятия топологической транзитивности.

Примеры

Первый пример гиперциклического оператора получил Биркхоф в 1929 году.

В 1969 году Ролевич доказал, что гиперцикличен оператор обратного сдвига в пространстве $l^2$, умноженный на константу $\lambda: |\lambda| > 1$, переводящий последовательность $(a_1, a_2, a_3, \ldots) \in l^2$ в последовательность $(\lambda a_2, \lambda a_3, \lambda a_4, \ldots) \in l^2$.

В 1988 году Чарльз Рид придумал пример оператора на банаховом пространстве $l^1$, такой, что все его ненулевые вектора гиперциклические. Это контрпример к известной проблеме существования инвариантного подпространства для банаховых пространств. Для гильбертовых пространств проблема остается открытой.

Ссылки

• K.-G. Grosse-Erdmann. Universal families and hypercyclic operators.
• Read, C. J. (1988), "«The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators»", Israel Journal of Mathematics Т. 63 (1): 1–40, MR0959046, ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF02765019