Гипотеза Бибербаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Гипотеза Бибербаха — предположение, высказанное в 1916 году немецким учёным Л. Бибербахом относительно верхней границы коэффициентов разложения однолистных функций в ряд Тейлора.

Обозначим $Δ$ — открытый единичный круг комплексной плоскости: $Δ = {z : | z | < 1}$ .

$S$ — множество всех аналитических и однолистных в $Δ$ функций $f (z)$ , имеющих разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля вида:

$f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}c_nz^n.$

По гипотезе коэффициенты $|c_n|\leqslant n$ , причём $c n = n$ только для функций Кёбе вида

$k_\theta(z)=\frac{z}{(1-ze^{i\theta})^2}.$

[править] История доказательства гипотезы

1916 год — высказана гипотеза. Бибербахом доказана справедливость гипотезы при $n = 2$ .
1923 год — доказана гипотеза для $n = 3$ . Автор доказательства — К. Лёвнер, для доказательства был создан параметрический метод Лёвнера.
1955 год — доказательство для $n = 4$ . Авторы — Гарабедян, Шиффер. Метод, использованный при доказательстве, был назван методом Шиффера.
1968, 1969 годы — две независимые работы с доказательством гипотезы для $n = 6$ — Педерсон, Одзава.
1972 год — доказана гипотеза для $n = 5$ — Педерсон, Шиффер.

1925 год — Литтльвуз доказывает, что $|c_n|\leqslant e\cdot n$ для любого $n$ .
1951 год — Базилевич, Милин: доказано соотношение $|c_n|\leqslant e/2\cdot n+\mathrm{const}$ .
1965 год — Милин: $|c_n|\leqslant 1{,}243\cdot n$ .
1972 год — Фитцжеральд: $|c_n|\leqslant\sqrt{7/6}n$ .
1984 год — доказательство верности гипотезы Бибербаха, автор — Луи де Бранж.