Гипотеза Борсука

Разрезания отрезка, треугольника и тетраэдра на части меньшего диаметра.

Гипотеза Бо́рсука (проблема Борсука) — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии:

Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в $n$-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем $n+1$ часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1?

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году. Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало. Однако в 1993 году был найден контрпример.

По состоянию на 2023 год доказано, что гипотеза верна при $n\leqslant 3$, и неверна для $n\geqslant 64$, вопрос остаётся открытым для $4\leqslant n\leqslant 63$.

Положительные решения

Разрезание правильного шестиугольника ширины 1 на 3 части диаметра меньше 1.

Случай $n=1$ очевиден. Случай $n=2$ был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом Дьюлы Пала 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$. Кроме того, Борсук доказал, что $n$-мерный шар нельзя разделить на $n$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех $n$ для выпуклых тел с гладкой границей.

В 1947 году Юлиан Перкаль доказал случай $n=3$ для всех ограниченных тел, независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный $n$-мерный симплекс.

В 1993 году Борис Декстер установил справедливость гипотезы для выпуклых тел с поясом из регулярных точек. В 1995 году им же дан положительный ответ для всех тел вращения в произвольных размерностях.

Число Борсука

Число Борсука $f(n)$ — наименьшее число возможных частей меньшего диаметра, на которые можно разбить всякое ограниченное тело в $n$-мерном пространстве. Параллельно с подтверждением гипотезы $f(n)=n+1$ в частных случаях, улучшались нижние и верхние оценки для $f(n)$. Сравнительно легко получены оценки $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ и $f(n)\leqslant 2^{n}$. В 1983 году Маршалл Лассак установил, что $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$.

Среди асимптотических верхних оценок долгое время лучшей была оценка Клода Роджерса (англ. Claude Ambrose Rogers; 1965): $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$; в 1988 году Одед Шрамм установил, что:

$f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}+o(1){\Big )}^{n}$.

Отрицательные решения

Отрицательное решение проблемы в общем случае выявлено в 1993 году Гилем Калаем (англ. Gil Kalai) и Джеффом Каном (англ. Jeff Kahn), построившими контрпример в размерности $n=1325$ и доказавшими невыполнение гипотезы для всех $n>2014$. Кроме того, они показали, что для достаточно больших $n$ существуют $n$-мерные тела, которые нельзя разбить на ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$ частей меньшего диаметра. В последующие годы размерность, выше которой гипотеза не выполняется, последовательно снижалась:

• 1993 — $n\geqslant 2015$ (Калай — Кан),
• 1994 — $n\geqslant 946$ (Нилли),
• 1997 — $n\geqslant 903$ (Вайссбах — Грей),
• 1997 — $n\geqslant 561$ (Райгородский),
• 2000 — $n\geqslant 560$ (Вайссбах),
• 2001 — $n\geqslant 324$ (Хинрихс),
• 2002 — $n\geqslant 323$ (Пихурко),
• 2003 — $n\geqslant 298$ (Хинрихс — Рихтер),
• 2013 — $n\geqslant 65$ (Бондаренко),
• 2013 — $n\geqslant 64$ (Йенрих).

Для построения контпримеров во всех случаях использовались конечные множества и использованы тонкие комбинаторные результаты. Нижние оценки для минимального числа частей меньшего диаметра в большинстве контрпримеров — ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$, в одном из результатов Райгородского (1999) эта оценка улучшена до ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}$.

Вариации и обобщения

В 1953 году Дэвид Гейл выдвинул гипотезу, что любое тело единичного диаметра в трёхмерном пространстве допускает разбиение на 4 части с диаметром:

${\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888$,

то есть шар является «наихудшим» в этом смысле телом.

В 1971 году гипотеза Борсука подтверждена для сферического и гиперболического пространств при $n=2,3$.

В 1991 году этот результат обобщён на произвольные размерности для центрально-симметрических выпуклых гиперповерхностей.

В 2012 году изучены аналоги проблемы Борсука в пространстве $\mathbb {Q} ^{n}$ с евклидовой метрикой и с метрикой $l_{p}$.

В 2019 году рассмотрен вопрос о разбиении произвольных ограниченных метрических пространств на заданное количество подмножеств меньшего диаметра, и выявлены критерии осуществимости и неосуществимости такого разбиения в зависимости от расстояния по метрике Громова — Хаусдорфа от заданного пространства до симплексов заданной мощности, где под симплексом понимается метрическое пространство, в котором все ненулевые расстояния одинаковы.

Литература

• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка). (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М.: Наука, 1971. — 88 с.
• Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М.: Наука, 1971.
• А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: МЦНМО, 2006. — 56 с.
• А. Б. Скопенков. $n$-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 1999. — Вып. 3 (3).