Гипотеза Борсука

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что

Любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d.

История[править | править исходный текст]

Гипотеза была выдвинута Каролем Борсуком в 1933 г. Сам Борсук доказал, что n-мерный шар нельзя разделить на n частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей. Доказательство основано на теореме Борсука — Улама.

  • Гипотеза была подтверждена в некоторых случаях:
    • Случай n = 1 очевиден.
    • Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году.
    • Случай n = 3 был доказан Эгглстоном в 1955 году. Простое доказательство было найдено позже Бранко Грюнбаумом и Хеппесом.
    • При всех n для выпуклых тел с гладкой границей — результат Хадвигера (англ.) (1946).
    • При всех n для всех центрально-симметричных тел. Доказано А. С. Рисслингом.
    • При всех n для всех тел вращения — результат Декстера 1995 года.
  • Контрпримеры
    • В 1993 году Калай и Кан[1] построили контрпример в размерности n = 1325 и, кроме того, для каждого n привели примеры тел, которые нельзя разбить на [1{,}1^{\sqrt{n}}] части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x). Таким образом, гипотеза неверна для всех достаточно больших n.
    • В 2003 году получен результат[2], который показывает, что гипотеза неверна для всех n\geqslant 298.
    • В 2013 году доказано, что гипотеза Борсука неверна для всех n\geqslant 64 [3] [4].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
  2. A. Hinrichs and C. Richter, New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math. 270 (2003), 137—147
  3. Andriy V. Bondarenko, On Borsuk's conjecture for two-distance sets
  4. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture

Литература[править | править исходный текст]