Гипотеза Гильбрайта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Гильбрайта — гипотеза в теории чисел, утверждющая, что если взять последовательность простых чисел, применить к ней разностный оператор со взятием абсолютных значений и повторять этот процесс к получающимся последовательностям, то получаемые последовательности всегда будут начинаться на 1. Гипотеза получила известность после того, как была опубликована в 1958 г. Норманом Гильбрайтом[1]. Однако, ещё в 1878 году Франсуа Прот (англ.) публиковал предполагаемое доказательство этой же гипотезы, которое, как затем выяснилось, было ошибочным.[1]

Истоки гипотезы[править | править вики-текст]

Рассмотрим последовательность простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

Вычислим абсолютные значения разностей между каждым n+1-м членом и предыдущим ему n-ым членом и выпишем полученную последовательность

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, …

Выполняя те же вычисления для полученной последовательности, получим еще одну последовательность, для которой снова построим процесс и так до бесконечности. Выпишем все полученные последовательности:

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 0, 2, …
1, 2, 0, 0, 2, …

Видим, что первый элемент каждой последовательности равен 1.

Гипотеза[править | править вики-текст]

Сформулировать гипотезу Гильбрайта проще, если ввести некоторые обозначения для последовательностей из предыдущей секции. обозначим \{p_{n}\} упорядоченную последовательность простых чисел p_{n}, и определим члены последовательности \{d_{n}\} как

d_{n} = p_{n+1} - p_{n}~,

где n — натуральное. Считаем также, что \{d_{n}\}=\{d_{n}^1\} и для каждого натурального k>1, определим последовательность \{d_{n}^{k}\} формулой

d_{n}^{k} = |d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|.

(здесь k — это не степень, а верхний индекс)

Гипотеза Гильбрайта утверждает, что каждый член последовательности a_{k} = d_{1}^{k} равен 1.

Проверка и попытки доказательства[править | править вики-текст]

На 2011 год не было правильного опубликованного доказательства гипотезы. Как уже говорилось во введении, Франсуа Прот (англ.) написал доказательство утверждения, однако позже было показано, что оно ошибочно. Эндрю Одлызко (англ.) в 1993 проверил, что d_1^k равно 1 для всех k \leqslant  n = 3{,}4\cdot 10^{11},[2] но гипотеза остается открытой проблемой. Вместо вычисления всех n рядов таблицы, Одлызко вычислил 635 рядов и установил, что 635-я ряд начинается с 1 и далее вплоть до n-го элемента состоит только из чисел 0 и 2. Отсюда следует, что все последующие n рядов начинаются с единицы.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • В.  Серпинский Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — Ленинград, ФизМатЛит, 1963.

Ссылки[править | править вики-текст]

3. Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.