Гипотеза Диксона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k~ при a_j\geqslant 1~, имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k~ с целыми a_j,b_j~, причем a_j\geqslant 1~. Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел a_1n+b_1,a_2n+b_2,...a_kn+b_k~ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число a_jn+b_j~ кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение (a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p. В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий n, 2n~ всегда 2\mid 2n~, а для 2-х других прогрессий n,n+3~ при четных n 2\mid n~, а при нечетных — 2\mid n+3~, так что в парах прогрессий n, 2n~ и n,n+3~ число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа 2,3,5,...~, но и отрицательные числа -2,-3,-5,...~ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце \mathbb{Z}~ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий a_jn+b_j~ и значит условие a_j\geqslant 1~ можно ослабить до a_j\neq 0~, а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе a_jn+b_j~ — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи[править | править вики-текст]

  • Случай k=1~ уже доказан — это теорема Дирихле.
  • Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
  • Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида n, n+2t~, t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар (n, n+2)~, (n, n+4)~, (n, n+6)~ и т. п.)
  • Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n p\mid (n+b_1)(n+b_2)...(n+b_k)~, то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары (n, n+2)~, тройки (n, n+2, n+6)~, четверки (n, n+2, n+6, n+8)~ и т. д.)
  • В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы[править | править вики-текст]

Пусть w(p)~ — число решений сравнения (a_1n+b_1)(a_2n+b_2)...(a_kn+b_k)\equiv 0\pmod p~. Согласно предположению гипотезы, w(p)<p~ и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа a_jn+b+j~ простые, оценивается величиной

\prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln ^k t},~

здесь произведение берется по всем простым числам p, а \ln~ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна \prod\limits_p\frac{1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^k}\frac{x}{\ln ^k x},~

но 1-е выражение должно быть точнее. При k=1~, нетрудно проверить, коэффициент будет равен \frac{1}{\varphi(a_1)}~, что соответствует теореме Дирихле (здесь \varphi~ — функция Эйлера).

Обобщения[править | править вики-текст]

Гипотеза Диксона была позже обобщена Шинцелем до гипотезы Шинцеля.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]