Гипотеза Зарисского

Гипотеза Зарисского

Обозначим через $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных $X_{1},X_{2},...,X_{n}$. Пусть в $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ выбрано подмножество $A$, содержащее все константы $C$ и обладающее следующими свойствами: если $f,g\in A$, то $f-g$ и $fg$ лежат в $A$. Предположим, что существует такой многочлен $T\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$, что каждый элемент $f$ из $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$ представляется в виде многочлена $f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+...+a_{m}T^{m},a_{0},a_{1},...a_{m}\in A,$, где $m$ зависит от $f$. Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены $T_{1},T_{2},...,T_{n-1}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$, что каждый элемент $f$ из $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$ представляется в виде многочлена от $T_{1},T_{2},...,T_{n-1},T$. Гипотеза Зарисского доказана для $n=2$ и $n=3$. Для случая $n>3$ её никому доказать не удалось.

Литература

• В.А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов. Соросовский образовательный журнал, т. 7, н. 3, 2001