Гипотеза Крамера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что

p_{n+1}-p_n=O(\ln ^2 p_n),\

где p_n обозначает nпростое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. По гипотезе, все простые числа должны соответствовать пределу

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{(\log p_n)^2} = 1.

Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование[править | править вики-текст]

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно \frac{1}{\ln x}. Эта модель известна как Модель Крамера' простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.[1]

Доказанные результаты о пробелах между простыми числами[править | править вики-текст]

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

p_{n+1}-p_n = O(\sqrt{p_n}\ln p_n)

предполагая истинной гипотезу Римана.[1]

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2]

\limsup_{n\to +\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln p_n}=\infty.

Гипотеза Крамера-Грэнвилля[править | править вики-текст]

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера.[3]

В вероятностной модели,

\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2 p_n} = c, с c = 1.

Но константа c возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа c = 2e^{-\gamma}\approx1.1229\ldots.[4], где \gamma — постоянная Эйлера


В работе [5] М. Вольф предложил формулу для максимальново расстояния  G(x) между последующими прямыми числами меньшыми  x выраженную через функцию распределения простых чисел \pi(x):

G(x)\sim \frac{x}{\pi(x)}(2\ln(\pi(x))-\ln(x)+c_0),

где c_0=\ln(C_2)=0.2778769..., а C_2=1.3203236... есть константа простых-близнецов.

Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми.[6] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив частное R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми; он писал, «Для наибольших известных пробелов, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как мининмум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера видится как лучшее приближение для данных.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Cramér, Harald (1936), "«On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers»", Acta Arithmetica Т. 2: 23–46, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf> .
  2. Westzynthius, E. (1931), "«Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind»", Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors Т. 5: 1-37 .
  3. Shanks, Daniel (1964), "«On Maximal Gaps between Successive Primes»", Mathematics of Computation (American Mathematical Society) . — Т. 18 (88): 646–651, DOI 10.2307/2002951 .
  4. Granville, A. (1995), "«Harald Cramér and the distribution of prime numbers»", Scandinavian Actuarial Journal Т. 1: 12–28, <http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf> .
  5. Wolf, Marek (2014), "«Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos»", Phys. Rev. E Т. 89: 022922, <http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.89.022922> 
  6. Nicely, Thomas R. (1999), "«New maximal prime gaps and first occurrences»", Mathematics of Computation Т. 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, <http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html> .

Ссылки[править | править вики-текст]