Гипотеза Пуанкаре

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Пуанкаре́ является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.

Формулировка[править | править исходный текст]

Гипотеза Пуанкаре[править | править исходный текст]

В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.


Обобщённая гипотеза Пуанкаре[править | править исходный текст]

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает:

Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

Схема доказательства[править | править исходный текст]

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, открытую область диффеоморфную прямому произведению (0,1)\times S^2), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией». Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S^3/\Gamma_i, соединённых друг с другом трубками [0,1]\times S^2. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S^3/\Gamma_i и более того все \Gamma_i тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История[править | править исходный текст]

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n ⩾ 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в 2002 году Григорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных.[1] Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
  2. Dana Mackenzie (2006). «BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved». Science 314 (5807): 1848-1849. DOI:10.1126/science.314.5807.1848. (англ.)
  3. Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
  4. В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу The Best American Science Writing за 2007 год.
  5. Sylvia Nasar, David Gruber (2006). «Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it». The New Yorker (August 21). Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».
  6. Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG]