Гипотеза Рамануджана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Рамануджана — высказанное С. Рамануджаном предположение относительно величины коэффициентов Фурье \tau(n) функции \Delta (параболическая формы веса 12). Функция \Delta есть собственная функция операторов Гекке, \tau(n) — соответствующие собственные значения.

Рамануджан предположил, что они удовлетворяют неравенству:

|\tau(p)|\leqslant 2p^{11/2},

где p — простое.

При этом функцию \tau(n) называют также функцией Рамануджана.

Петерсон (Н. Petersson) обобщил гипотезу Рамануджана на случай собственных значений операторов Гекке модулярных форм веса k, где целое k\geqslant 2. Это так называемая гипотеза Петерсона.

Позднее Пьер Делинь (P. Deligne) свёл гипотезу Петерсона к гипотезе Вейля, которую впоследствии сам же доказал в 1974 году. Соответственно, этим была доказана и гипотеза, выдвинутая Рамануджаном.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1916. — v. 22.
  2. Делинь П. Успехи математических наук. — 1975. — т. 30. — в. 5. — с. 159—190.
  3. Фоменко, О. М. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1977. — Т. 15. — С. 5—91.