Гипотеза Эйлера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа n > 2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы (n - 1) n-х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:


\begin{matrix}
a^3+b^3=c^3 \\
a^4+b^4+c^4=d^4 \\
a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\
\dots \\
\sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^n
\end{matrix}

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

В то время как гипотеза Эйлера была опровергнута для n = 4 и n = 5, для n = 6 она по-прежнему остается открытой проблемой.

Контрпримеры[править | править исходный текст]

n = 5[править | править исходный текст]

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. L. Selfridge) нашли первый контрпример для n = 5:[1]

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.

n = 4[править | править исходный текст]

В 1986 году Элкис (англ.) нашёл контрпример для случая n = 4:[2]

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4.

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[2]

95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.

Обобщения[править | править исходный текст]

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. Selfridge) высказали гипотезу, что если \sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k, где a_i \ne b_j — положительные целые числа, i=\overline{1, n}, j=\overline{1, m}, то m+n \ge k.

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если \sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k, то n \ge k-1.

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству \sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k, где a_i \ne b_j, называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[3] и yoyo@home.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge (1967). «A survey of equal sums of like powers». Math. Comp. 21: 446-459. DOI:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
  2. 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.
  3. EulerNet

Ссылки[править | править исходный текст]