Гипотеза Эллиота — Халберстама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Эллиота — Халберстама EH(\theta) — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam).

Пусть \pi(x) — число простых чисел не превышающих x. Если q — натуральное число, а a и q — взаимно простые числа, то мы обозначим \pi(x; q, a) — число простых чисел не превышающих x и равных a по модулю q. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что:

 \pi(x;q,a) \approx  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)},

где a и q — взаимно просты, а \varphi(q) — функция Эйлера.

Определим теперь функцию погрешности

 \Delta(x;q) = \max_{(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|,

где максимум берется по всем a, взаимно простым с q.

Тогда для всех \theta < 1 и всех A > 0 найдется константа C > 0 и выполняется

 \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} \Delta(x;q) \leq \frac{C x}{\ln^A x}

для всех x > 2.

Эта гипотеза была доказана для всех \theta < \frac12 Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке \theta = 1.

Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает[1], что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года, Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщенной гипотезы Эллиота — Халберстама, существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]