Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях[1] — предположение в аддитивной комбинаторике, сформулированное Палом Эрдёшем, согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Формально, если:

 \sum_{n\in A} \frac{1}{n} = \infty

(то есть A — большое множество), то A содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Если гипотеза верна, то она обобщает теорему Семереди. Теорема Грина — Тао о существовании арифметических прогрессий в множестве простых чисел также является специальным случаем данной гипотезы.

Эрдёш обещал в своё время премию в $3 тыс. за доказательство гипотезы[2], по состоянию на 2008 год установлена премия в $5 тыс.[3]

Замечания[править | править вики-текст]

  1. Гипотезу иногда путают с гипотезой Эрдёша — Турана
  2. Bollobás, Béla (March 1988). «To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics». American Mathematical Monthly 105 (3): 233.
  3. p. 354, Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. ISBN 978-0-387-74640-1

Ссылки[править | править вики-текст]

  • P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
  • P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
  • P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. DOI:10.1007/BF02579174