Гипотеза Эрдёша — Бура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике гипотеза Эрдёша-Бура — это нерешенная проблема относительно числа Рамсея на разреженных графах. Гипотеза названа в честь Пола Эрдёша и Стефана Бура. Гипотеза утверждает, что число Рамсея в семействе редких графов должно иметь почти линейный рост от числа вершин графа.

Определение[править | править исходный текст]

Если G — неориентированный граф, то вырожденность G — это минимальное число p, такое, что любой подграф G содержит вершину степени p или меньше. Граф A c вырожденностью p называется p-вырожденным. p-вырожденность графа можно определить также как возможность свести граф к пустому путем последовательного удаления вершин степени p и меньше.

Из теоремы Рамсея следует, что для любого графа G существует такое целое r(G), называемое числом Рамсея для G, что любой полный граф с не менее чем r(G) вершинами, рёбра которого выкрашены в красный и синий цвета, содержит монохромную копию графа G. Например, число Рамсея для треугольника равно 6. Независимо от того, каким образом раскрашены рёбра полного графа из шести вершин в красный и синий цвета, всегда найдётся красный или синий треугольник.

Гипотеза[править | править исходный текст]

В 1973-ем году Пол Эрдёш и Стефан Бур высказали следующую гипотезу:

Для любого целого p существует константа cp, такая, что любой p-вырожденный граф G из n вершин имеет число Рамсея не превышающее cp n.

Таким образом, если граф G с n вершинами является p-вырожденным, то монохроматическая копия графа G должна существовать в любом окрашенном двумя цветами графе с cp n вершинами.

Известные результаты[править | править исходный текст]

Хотя полностью гипотеза доказана и не была, она была доказана в некоторых частных случаях, так, доказательство гипотезы для графов с ограниченной степенью вершин приведено в статье Шватала, Рёдля, Семереди и Троттера. [1] Их доказательство приводит к очень большому значению cp. Константа была улучшена в статье Нэнси Итон (Nancy Eaton) [2] и в статье Рональда Грэма (Ronald Graham). [3]

Известно, что гипотеза верна для p-ограниченных графов, которые включают в себя графы с ограниченной максимальной степенью вершин, плоские графы и графы, не содержащие расщепления Kp (здесь под расщеплением понимается операция, обратная стягиванию, то есть замена дуги на две дуги с добавлением вершины). [4]

Известно, что гипотеза верна для расщепленных графов, то есть графов, у которых никакие две соседние вершины не имеют степень большую двух [5].

Для произвольного графа известно, что число Рамсея ограничено функцией, которая растет слегка сверхлинейно. А именно, Фокс и Судаков [6] показали, что существует константа cp, такая, что для любого p-вырожденного графа G с n вершинами,

r(G) \leq 2^{c_p \sqrt{\log n}} n.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Вацлав Шватал (Václav Chvátal), Войцех Рёдль (Vojtěch Rödl), Эндре Семереди, Вильям Троттер. (William Trotter;Jr.). Число Рамсея для графа с ограниченной степенью вершин. (англ.) = The Ramsey number of a graph with bounded maximum degree // Journal of Combinatorial Theory, Series B : журнал. — 1983. — В. 3. — Т. 34. — С. 239–243. — DOI:10.1016/0095-8956(83)90037-0
  2. Нэнси Итон (Nancy Eaton). Число Рамсея для редких графов = Ramsey numbers for sparse graphs // Discrete Mathematics. — 1998. — В. 1–3. — Т. 185. — С. 63–75. — DOI:10.1016/S0012-365X(97)00184-2.
  3. Рональд Грэм (Ronald Graham), Войцех Рёдль (Vojtěch Rödl), Анджей Ручински (Andrzej Rucínski). Графы с линейными числами Рамсея = On graphs with linear Ramsey numbers // Journal of Graph Theory. — 2000. — В. 3. — Т. 35. — С. 176–192. — DOI:10.1002/1097-0118(200011)35:3<176::AID-JGT3>3.0.CO;2-C
  4. Войцех Рёдль (Vojtěch Rödl), Робин Томас (Robin Thomas). Математика Пола Эрдёша, II = The Mathematics of Paul Erdős, II / Под ред. Рональда Грэма (Ronald Graham), Ярослава Нешетрила (Jaroslav Nešetřil). — Springer-Verlag, 1991. — С. 236–239.
  5. Нога Алон (Noga Alon). {{{заглавие}}} = Subdivided graphs have linear Ramsey numbers // Journal of Graph Theory. — 1994. — В. 4. — Т. 18. — С. 343–347. — DOI:10.1002/jgt.3190180406, Юшенг Ли (Yusheng Li) , Сесиль Руссо (Cecil C. Rousseau), Любомир Солтес (Ľubomír Soltés). {{{заглавие}}} = Ramsey linear families and generalized subdivided graphs // Discrete Mathematics. — 1997. — В. 1–3. — Т. 170. — С. 269–275. — DOI:10.1016/S0012-365X(96)00311-1
  6. Якоб Фокс (Jacob Fox), Бенни Судаков (Benny Sudakov). Два замечания по поводу гипотезы Эрдёша–Бура (англ.) = Two remarks on the Burr–Erdős conjecture // European Journal of Combinatorics : журнал. — 2009. — В. 7. — Т. 30. — С. 1630–1645. — DOI:10.1016/j.ejc.2009.03.004

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Стефан Бур (Stefan Burr), Пол Эрдёш. Бесконечные и конечные множества = Infinite and finite sets (Colloq., Keszthely, 1973; dedicated to P. Erdős on his 60th birthday), Vol. 1. — Amsterdam: North-Holland, 1975. — Т. 10. — С. 214–240. — (Colloq. Math. Soc. János Bolyai)..
  • Гуантано Чен (Guantao Chen), Ричард Шелп (Richard H. Schelp). Графы с линейно ограниченными числами Рамсея = Graphs with linearly bounded Ramsey numbers // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1993. — В. 1. — Т. 57. — С. 138–149. — DOI:10.1006/jctb.1993.1012.
  • Рональд Грэм (Ronald Graham), Войцех Рёдль (Vojtěch Rödl), Анджей Ручински (Andrzej Rucínski). Пол Эрдёш и его математика (Будапешт, 1999) = Paul Erdős and his mathematics (Budapest, 1999) // Combinatorica. — 2001. — В. 2. — Т. 21. — С. 199–209. — DOI:10.1007/s004930100018