Гладкое многообразие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой. Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство. Если для каждой точки x \in X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства \R^n, то X называется локальным евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n. Пара (U, \phi)\,, где \phi\, — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел (x^1, \ldots, x^n), которые называются координатами в карте (U, \phi). Множество карт \{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A, называется n-мерным C^k — атласом (0 \leqslant k \leqslant \infty, a) многообразия X, если:

  • совокупность всех U_\alpha покрывает X, X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha
  • для любых \alpha, \beta \in A таких, что U_\alpha \cap U_\beta \neq \varnothing, отображение:
\phi_{\alpha}^{\beta} = \phi_\beta \circ \phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \to \phi_\beta(U_\alpha \cap U_\beta)
является гладким отображением класса C^k; \phi\, является отображением, с отличным от нуля якобианом и называется преобразованием координат точки х с карты (U_\alpha, \phi_\alpha)\, в карту (U_\beta, \phi_\beta)\,.

Два C^k-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует C^k-атлас. Совокупность C^k-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые C^k-структурами, при 1 \leqslant k \leqslant \infty — дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = a — аналитическими структурами.

Топологическое многообразие X, наделенное C^k-структурой, называется C^k-гладким многообразием.

Комплексные многообразия[править | править вики-текст]

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства \R^n более общих пространств \C^n или даже K^n\,, где K — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K = \C соответствующая C^k-структура, k \geqslant 1, непременно оказывается аналитической структурой, и называется комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее гладкое многообразие — комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры[править | править вики-текст]

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней C^\infty-структура, и на C^\infty-многообразии,0 \leqslant k \leqslant \infty, — C^r-структура, если 0 \leqslant r \leqslant k. Наоборот, любое паракомпактное C^r-многообразие, r \geqslant 1, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что C^0-многообразие нельзя наделить C^1-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например число θ(n) C^1-неизоморфных C^\infty-структур на n-мерной сфере равно:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
θ(n) 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1

Отображение[править | править вики-текст]

Пусть f : X \to Y — непрерывное отображение C^r-многообразий X, Y; оно называется C^k-морфизмом (или C^k-отображением, k \leqslant r, или отображением класса C^k) гладких многообразий, если для любой пары карт (U_\alpha, \phi_\alpha)\, на X и (V_\beta, \psi_\beta)\, на Y такой, что f(U_\alpha) \subset V_\beta и отображение:

\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)

принадлежит классу C^k. Биективное отображение f, если оно и f−1 является C^k-отображениями, называется C^k-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X и Y и их C^r-структуры называются C^k-изоморфными.

Подмножества и вложения[править | править вики-текст]

Подмножество Y n-мерного C^k-многообразия X называется C^k-подмногообразием размерности m в X, если для произвольной точки y \in Y существуют ее окрестность V \subset Y и карта (U, \phi)\, C^k-структуры X, такие, что V \subset Y и \phi индуцирует гомеоморфизм V на пересечении \phi (U \cap Y) с (замкнутым) подпространством \R^m \subset \R^n; иными словами, существует карта с координатами (x^1, \ldots, x^n), такая, что (U \cap Y) определяется соотношениями x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0.

Отображение f : X \to Y называется C^k-вложением, если f(X) является C^k-подмногообразием в Y, а X \to f(X) — C^k-диффеоморфизм. Любое n-мерное C^k-многообразие допускает вложение в \R^{2n + 1}, а также в \R^{2n}. Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений C^k(X,\R^{2n+1}) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путем устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
  • Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
  • де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
  • Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
  • Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
  • Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
  • Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
  • Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;