Гомотопические группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гомотопи́ческие гру́ппы — одно из основных понятий алгебраической топологии.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть X — топологическое пространство, x_0\in X; I^n\sub \R^n — единичный куб (I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_n\leqslant 1\}, \partial I^n — граница этого куба, то есть множество точек куба такое, что для некоторого i t_i равен 0 или 1. Множество гомотопических классов [f] непрерывных отображений f\colon I^n\to X, для которых f(\partial I^n)=x_0\in X обозначается \pi_n(X,x_0) (причём \partial I^n переходит в точку x_0 при всех отображениях и гомотопиях). На этом множестве можно определить умножение элементов следующим образом:

[f][g]=[f*g], где

f*g(t_1,t_2,\ldots t_n)=f(2t_1,t_2,\ldots t_n), если 0\leqslant t_1 \leqslant\frac{1}{2}

f*g(t_1,t_2,\ldots t_n)=g(2t_1-1,t_2,\ldots t_n), если \frac{1}{2}\leqslant t_1\leqslant 1

Так как на границе куба f=g=x_0, то умножение определено корректно. Легко проверить, что [f*g] зависит только от гомотопического класса [f] и [g]. Это умножение удовлетворяет всем аксиомам группы. В случае n=1 мы имеем общеизвестное умножение замкнутых путей и, следовательно, \pi_1(X,x_0) является фундаментальной группой. При n>1 \pi_n(X,x_0) называются высшими гомотопическими группами.

Непрерывному отображению пространств F\colon(X,x_0)\to(Y,y_0) соответствует гомоморфизм F_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,y_0), причём это соответствие, как говорят, функториально, то есть произведению непрерывных отображений соответствует произведение гомоморфизмов гомотопических групп (FG)_*=F_* G_*, а тождественному отображению соответствует тождественный гомоморфизм (id)_*=id_*. Если отображение F гомотопно G, то F_*=G_*.

Зависимость от начальной точки[править | править исходный текст]

В отличие от гомологических групп H_n(X) в определение гомотопических групп \pi_n(X,x_0) входит выделенная точка x_0. На самом деле в случае линейно связных пространств эти группы изоморфны, хотя в общем случае канонического изоморфизма не существует.

Абелевость высших гомотопических групп[править | править исходный текст]

В то время как фундаментальная группа \pi_1(X,x_0) в общем случае неабелева, для всех n>1 \pi_n(X,x_0) абелевы, то есть [f][g]=[g][f]. Наглядное доказательство этого факта можно видеть на следующем рисунке (светло-синие области отображаются в точку x_0):

Абелевость высших гомотопических групп

Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая последовательность[править | править исходный текст]

Относительные гомотопические группы определяются для пространства X, его подпространства A\sub X и выделенной точки x_0\in X. Пусть I^n\sub\R^n — единичный куб (I^n=\{(t_1, t_2,\ldots t_n): 0\leqslant t_i\leqslant 1\}), \partial I^n — граница этого куба, a I^{n-1}\sub\partial I^n — грань куба, определяемая уравнением t_n=0. Множество гомотопических классов [f] непрерывных отображений f\colon I^n\to X, для которых f\colon I^{n-1}\to A и на остальных гранях f\colon\partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1})\to x_0 обозначается \pi_n(X,A,x_0) (причём I^{n-1} переходит в A, а \partial I^n \setminus \operatorname{Int}(I^{n-1}) в точку x_0 при всех отображениях и гомотопиях).

Точно так же, как и раньше можно доказать что при n\geqslant 2 это множество образует группу — относительную гомотопическую группу порядка n. Если n\geqslant 3 то предыдущий рисунок доказывает, что \pi_n(X,A,x_0) — абелева. (При n=2 доказательство не проходит, так как точки I^1=\{x:x_2=0\} могут переходить в точки A, отличные от x_0).

Вложение i\colon(A,x_0)\to(X,x_0) индуцирует гомоморфизм i_*\colon\pi_n(A,x_0)\to\pi_n(X,x_0), а вложение j\colon(X,x_0)\to(X,A,x_0) (здесь (X,x_0) следует понимать как (X,x_0,x_0)), индуцирует гомоморфизм j_*\colon\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(X,A,x_0). Любой элемент [f]\in\pi_n(X,A,x_0) определяется отображением f, которое, в частности, переводит I^{n-1} в A, причём на \partial I^{n-1} f тождественно равно x_0, определяя элемент из \pi_{n-1}(A,x_0). Таким образом мы получаем отображение \partial \pi_n(X,A,x_0)\to\pi_{n-1}(A,x_0), которое является гомоморфизмом. Мы имеем следующую последовательность групп и гомоморфизмов:
...{\longrightarrow}\pi_n(A,x_0)\stackrel{i_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,x_0)\stackrel{j_{*n}}{\longrightarrow}\pi_n(X,A,x_0)\stackrel{\partial_n}{\longrightarrow}\pi_{n-1}(A,x_0){\longrightarrow}~...

Эта последовательность является точной, то есть образ любого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма. Отсюда в случае, когда \pi_n(X,x_0)=0 для всех n\geqslant 1, граничный гомоморфизм \partial\colon\pi_{n+1}(X,A,x_0)\to\pi_n(A,x_0) будет изоморфизмом.

История[править | править исходный текст]

Фундаментальная группа была введена создателем топологии А. Пуанкаре, высшие гомотопические группы — В. Гуревичем. Несмотря на простоту их определения, вычисление конкретных групп (даже для таких простых пространств, как сферы Sn) часто является очень трудной задачей, причём более-менее общие методы были получены только начиная с середины XX века.

Литература[править | править исходный текст]

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989