Гомотопия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гомотопия

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений F_t\colon X\to Y,\; t\in [0,1], «непрерывно зависящих от параметра». Более точное определение дано ниже.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть X и Y суть топологические пространства. Гомотопией называется непрерывное отображение F\colon[0,1]\times X\to Y.

При этом значение F(t,x) чаще обозначается F_t(x).

Связанные определения[править | править вики-текст]

Гомотопическая эквивалентность тора и кружки
  • Гомотопные отображения. Отображения f,g\colon X\to Y называются гомотопными или g\sim f если существует гомотопия f_t такая, что f_0=f и f_1=g.
  • Гомотопическая эквивалентность топологических пространств X и Y есть пара непрерывных отображений f\colon X\to Y и g\colon Y\to X такая, что f\circ g\sim\operatorname{id}_Y и g\circ f\sim\operatorname{id}_X, здесь \sim обозначает гомотопическую эквивалентность отображений. В этом случае говорят, что X и Y гомотопически эквивалентны, или X с Y имеют один гомотопический тип.
  • Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
  • Отображение f\colon X\to Y называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.
    • Подпространство A топологического пространства X такое, что включение A\subset X является слабой гомотопической эквивалентностью называется репрезентативным подпространством.
  • Если на некотором подмножестве A\subset X,\; F(t,a)=f(a) для всех t при a\in A, то F называется гомотопией относительно A, а f и g гомотопными относительно A.
  • Изотопия — гомотопия топологического пространства X по топологическому пространству Y есть гомотопия  f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1], в которой при любом t отображение f_t является гомеоморфизмом X на f(X)\subset Y.

Свойства[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971

См. также[править | править вики-текст]