Гравитационный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, характеризующая гравитационное поле в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой \varphi. Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки. Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.

  • В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала играют обычно тензорные поля. Так, в стандартной в наше время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

Гравитационный потенциал и уравнения движения[править | править вики-текст]

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

L=\frac{m\dot q^2}{2}-m\varphi, где: m — масса частицы, q — координата частицы, \varphi — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана L в уравнения Лагранжа:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,

получаем уравнения движения

\ddot q= - grad (\varphi).

Гравитационный потенциал и принцип эквивалентности[править | править вики-текст]

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Это является выражением основного свойства гравитационного поля — принципа эквивалентности.

Гравитационный потенциал точечной частицы и произвольного тела[править | править вики-текст]

Гравитационный потенциал точечной частицы равен: \varphi=-\frac{Gm}{R}, где G — гравитационная постоянная, m — масса частицы, R — расстояние от частицы. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Для тела с произвольным распределением плотности массы \rho гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: \Delta \varphi=-4 \pi G \rho, где \Delta — оператор Лапласа, \rho — объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Общее решение этого уравнения имеет вид: \varphi=-G\int_{V}\frac{\rho dV}{r}, где r — расстояние от элемента объёма dV до рассматриваемой точки поля, а интегрирование производится по всему объёму тел, создающих поле. Гравитационный потенциал симметричного тела симметричен.

Гравитационный потенциал и потенциальная энергия[править | править вики-текст]

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля. Для потенциальной энергии любого распределения масс справедливо выражение:

U=\frac{1}{2}\int{\mu \varphi dV}, \qquad\qquad (1)

где \mu — плотность массы тела, \varphi — гравитационный потенциал, V — объём тела.

Гравитационный потенциал постоянного гравитационного поля[править | править вики-текст]

Формула для гравитационного потенциала произвольного тела имеет вид:

\varphi=-G\left(\frac{M}{R_0}+\frac{1}{6}D_{\alpha\beta}\frac{\partial^2}{\partial{X_\alpha}\partial{X_\beta}}\frac{1}{R_0}+...\right)\qquad\qquad (2),

где M = \int \mu dV — полная масса системы, а величины:

D_{\alpha\beta}=\int \mu (3x_{\alpha}x_{\beta}-r^2\delta_{\alpha\beta}) dV

можно назвать тензором квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

J_{\alpha\beta}=\int \mu (r^2\delta_{\alpha\beta}-x_{\alpha}x_{\beta}) dV

очевидными соотношениями

D_{\alpha\beta}=J_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha\beta}-3J_{\alpha\beta}.

Гравитационный потенциал планет[править | править вики-текст]

В общем случае гравитационный потенциал любого космического тела может быть разложен по сферическим функциям:

U=\frac{GM}{r}\left(1-\sum_{n=2}^{\infty}J_n\left(\frac{R}{r}\right)^nP_n(\sin\theta)+\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^n \left(\frac{R}{r}\right)^n(C_{nm}\cos(m\lambda)+S_{nm} \sin(m\lambda)) P_n^k(\sin\theta)\right).

Здесь r, \theta, \lambda - сферические координаты в точке наблюдений, P_{n} - полином Лежандра n-го порядка, P_{n}^{k} - присоединенные полиномы Лежандра, J_{n}, C_{nm}, S_{nm} - гравитационные моменты[1].

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия тела[править | править вики-текст]

Гравитационная энергия тела получается интегрированием выражения (1) по объёму тела с использованием выражения для потенциала (2). Для шара массы m, радиусом a, с равномерным распределением плотности масс, получается значение U гравитационной энергии тела:

U=\frac{-3Gm^2}{5a}.

Гравитационный потенциал и общая теория относительности[править | править вики-текст]

Основной источник: [2]

В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:

\frac{d^{2}u^{i}}{ds^2} + \Gamma^{i}_{rs}\frac{dx^r}{ds}\frac{dx^s}{ds} = 0,

где \Gamma^{i}_{rs} = \frac{g^{ik}}{2}(\frac{dg_{kr}}{dx^{s}} + \frac{dg_{ks}}{dx^{r}} - \frac{dg_{rs}}{dx^{k}})символы Кристоффеля. Здесь g_{ik}метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.

Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики \frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} = -\frac{d\varphi}{dx^{i}} видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала \varphi играет метрический тензор.

В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид

\frac{d^{2}x^{i}}{dt^{2}} = -c^{2} \Gamma^{i}_{44}

для пространственных координат i=1,2,3 и x^{4}=ct для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо \Gamma^{i}_{44} можно подставить -\frac{1}{2}\frac{dg_{44}}{dx^{i}} и таким образом получить ньютоновские уравнения движения \frac{d^2x^i}{dt^2}=-\frac{d\varphi}{dx^{i}}. Здесь гравитационный потенциал \varphi и компонента метрического тензора g_{44} связаны соотношениями

\varphi = -\frac{1}{2}c^{2}(g_{44}+1), g_{44}=-\left(1+\frac{2\varphi}{c^2}\right).

В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен ds^{2} = g_{44}(dx^4)^2, а время t=\frac{x^4}{c}, замедление хода часов в гравитационном поле будет

t_g = \frac{t}{\sqrt{-g_{44}}} = \frac{t}{\sqrt{1+\frac{2\varphi}{c^2}}} \approx t(1-\frac{\varphi}{c^2}).

Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Внутреннее строение Земли и планет, 1978, с. 46
  2. В. Паули Теория относительности, М., ОГИЗ, 1947, тир. 16000 экз., 300 стр.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», учебное пособие для вузов, в 10 т. / т. 1, «Механика», 5-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2002, 224 с., ISBN 5-9221-0055-6 (т. 1), гл. 1 «Уравнения движения», п. 2 «Принцип наименьшего действия», с. 10-14;
  2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теоретическая физика», уче. пособ. для вузов, в 10 т. / т. 2, «Теория поля», 8-е изд., стереотип., М., «Физматлит», 2001, 536 с., ISBN 5-9221-0056-4 (т. 2), гл. 10 «Частица в гравитационном поле», п. 81 «Гравитационное поле в нерелятивистской механике», с. 304—306; гл. 12 «Поле тяготеющих тел», п. 99 «Закон Ньютона», с. 397—401;
  3. С. Вейнберг «Гравитация и космология», Принципы и приложения общей теории относительности, пер. с англ. В. М. Дубовика и Э. А. Тагирова, под ред. Я. А. Смородинского, «Платон», 2000, ISBN 5-80100-306-1, ч. 2 «Общая теория относительности», гл. 3 «Принцип эквивалентности», п. 4 «Ньютоновское приближение», с. 92-93;
  4. К. В. Холшевников, И. И. Никифоров Свойства гравитационного потенциала в примерах и задачах: Учебное пособие. — С-Пб., 2008. — 72 с., ББК 22.6.
  5. Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М.: Наука, 1978. — 192 с.