Градуированная алгебра

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей $A_g$ по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

$A_f A_g \subset A_{fg}$

Если ненулевой элемент a принадлежит $A_g$, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Конструкции с градуировками

• Если A — G—градуированная алгебра, а $\psi : G\to H$ — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:

$A_h=\oplus_{g\in G} \{A_g|\psi (g)=h\}$

• На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая $A_e=A$, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.

• Над полем $\mathbb{C}$ любая алгебра A градуируется группой G характеров максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:

$G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi)a,$ для всякого $\phi\in T(Aut_{k-alg}(A))\}$

Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры

• Кольцо многочленов от одной или нескольких переменных.
• Кольцо когомологий
• Алгебра матриц порядка n градуируется группой $\mathbb{Z}_{n-1}\!$
• Полугрупповая алгебра $K\left[G\right]$ — является G—градуированной алгеброй

Литература

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982