Градуированная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A — алгебра над кольцом k, G — полугруппа.

Алгебра A называется G-градуированной (синоним: на A задана G-градуировка), если A разлагается в прямую сумму k-модулей A_g по всем элементам g из G, причём умножение в алгебре согласовано с умножением в полугруппе:

A_f A_g \subset A_{fg}

Если ненулевой элемент a принадлежит A_g, то он называется однородным степени g.

Когда в качестве G берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру A называют просто градуированной.

Конструкции с градуировками[править | править вики-текст]

  • Если A — G—градуированная алгебра, а \psi : G\to H — гомоморфизм полугрупп, тогда A наделяется H—градуировкой по правилу:
A_h=\oplus_{g\in G} \{A_g|\psi (g)=h\}
  • На любой алгебре A можно ввести тривиальную градуировку любой полугруппой G с единицей e, полагая A_e=A, поэтому такие «бедные» градуировки рассматривать не имеет смысла.
G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi)a, для всякого \phi\in T(Aut_{k-alg}(A))\}
Эта градуировка, в вышеопределённом смысле, — «самая богатая» из всех абелевых градуировок алгебры A, поскольку на любой G—градуированной алгебре A группа характеров G действует автоморфизмами, по той же формуле.

Примеры[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982