Грассманиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства V называется многообразие, состоящее из его p-мерных подпространств (обозначается \mathbf{Gr}_p(V)). В частности, \mathbf{Gr}_1(\R^n) — это многообразие прямых в пространстве \R^n, совпадающее с проективным пространством \R \mathbb{P}^{n-1}. Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение Gr(k,n)\sub \mathbf{P}^{{n\choose k} -1}. Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство[править | править вики-текст]

Грассманиан \mathbf{Gr}_p(V) можно наделить следующим атласом.

Пусть \Pi \in \mathbf{Gr}_p(V)p-мерное подпространство \,V. Введём в векторном пространстве \,V скалярное произведение и обозначим через \Pi^{\perp} ортогональное дополнение \,\Pi.

Так как \Pi \oplus \Pi^{\perp} = V, то любое p-мерное подпространство \,V', достаточно близкое к \,V, можно отождествить с линейным отображением A: \Pi \to \Pi^{\perp}, если представить каждый вектор a \in \Pi' в виде суммы \,a=x+y, где x\in \Pi и y\in \Pi^{\perp}, и положить \,A(x)=y.

Тогда окрестность точки \Pi \in \mathbf{Gr}_p(V) взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений \mathcal{L}(\Pi, \Pi^{\perp}). Построенный атлас делает \mathbf{Gr}_p(V) аналитическим многообразием размерности \,p(n-p), где \,n=\dim V.

Для того, чтобы показать, что \mathbf{Gr}_p(V) является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Грассманиан \mathbf{Gr}_p(V) является проективным алгебраическим многообразием размерности \,p(n-p), где \,n=\dim V. Соответственно, если V=\C^n — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
  • Грассмановым конусом порядка p называется множество разложимых элементов внешней степени \wedge^p V, то есть p-форм, представимых в виде произведения p 1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка p совпадает с \mathbf{Gr}_p(V).
  • В силу естественного изоморфизма p-форм и (n-p)-форм, грассмановы многообразия порядка p и n-p совпадают.
Gr(k,\R^n) = O(n)/\left( O(k)\times O(n-k)\right)
Аналогично, компллексный грассманиан соответствует унитарной группе.
Gr(k,\C^n) = U(n)/\left( U(k)\times U(n-k)\right).
Эти соотношения означают, что линейное подпространство W евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые \dim W векторов которого образуют базис в W. Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом W, так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение[править | править вики-текст]

Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис \{e_1,\dots,e_n\}. Заданному k-мерному подпространству V сопоставим набор чисел s_{1,\dots,k} (символ Шуберта) по правилу

s_i = \min \{ p\in \{1,\dots,n\} \vert \dim\left(V \cap \left\langle e_1,\dots, e_p \right\rangle \right) = i\},\qquad i=1,\dots,k

Здесь \left\langle e_1,\dots, e_p \right\rangle — подпространство, натянутое на первые p векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями s_{1,\dots,k} гомеоморфно клетке, размерность которой равна (s_1-1)+(s_2-2)+\dots+(s_n-n). Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид

H_m(Gr(k,n)) = \begin{cases} 0,\; m = 2l+1 \\ \Z^{d(k,l)},\; m=2l \end{cases}

Здесь d(k,n) — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности l.

Обобщения[править | править вики-текст]

O(k) \to V_k(\R^n) \to \mathbf{Gr}_p(\R^n)
В частности, V_{n-1}(\R^n) \simeq SO_n,, V_n(\R^n) \simeq O_n,.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.