Гребенчатый фильтр

Гребенчатый фильтр — в обработке сигналов электронный фильтр, при прохождении сигнала через который к нему добавляется он сам с некоторой задержкой. В результате получается фазовая компенсация. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно распределённых пиков, так что она выглядит как решётка.

В цифровых системах, фильтр задаётся следующим уравнением:

$y\left[n\right] = ax\left[n\right] + bx\left[n - \tau\right] + cy\left[n - \tau\right] \!$

где $\tau$ — запаздывание. Гребенчатый фильтр также может быть реализован в аналоговой форме — АЧХ такого фильтра задаётся следующим выражением:

$H\left(\omega\right) = \frac{a + be^{-i \omega \tau}} {1 - ce^{-i \omega \tau}}$

Пики амплитудной характеристики получаются из-за того, что амплитудная характеристика включает периодические разрывы. Это происходит, когда выполняется следующее условие:

$\cos\left(\omega \tau\right) = \frac{1+c^2}{2c}$

Применения

Существуют двумерные и трёхмерные гребенчатые фильтры (реализованные как программно, так и аппаратно), применяющиеся для обработки сигналов в телевизионных системах стандартов PAL и NTSC. Они используются для уменьшения артефактов - например, таких, как сползание точек^[en].

В системах связи гребенчатые фильтры применяются для обработки сигнала связи.

Гребенчатые фильтры применяются для обработки аудиосигналов, в частности для создания эффекта эха. К примеру, если задержка установлена на уровне нескольких миллисекунд, это имитирует эффект звука в цилиндрической полости.

Передаточная функция

Гребенчатый фильтр предстваляет собой линейную стационарную систему. Пусть входной сигнал $x \left( n \right)$ имеет экспоненциальную форму:

$x\left(n\right) = e^{i \omega n} \!$

Выходной сигнал $y \left( n \right)$ определяется как:

$y\left(n\right) = H\left(\omega\right) e^{i \omega n} \!$

Объединив эти выражения с уравнением гребенчатого фильтра, получим:

$H\left(\omega\right)e^{i \omega n} = ae^{i \omega n} + be^{i \omega \left(n-\tau\right)} + cH\left(\omega\right)e^{i \omega \left(n-\tau\right)} \!$

$\! H\left(\omega\right)e^{i \omega n} = ae^{i \omega n} + be^{-i \omega \tau}e^{i \omega n} + cH\left(\omega\right)e^{-i \omega \tau}e^{i \omega n}$

Принимая во внимание то, что экспонента не принимает значение нуля, уравнения можно поделить:

$H\left(\omega\right) = a + be^{-i \omega \tau} + cH\left(\omega\right)e^{-i \omega \tau} \!$

Решив относительно $H\left(\omega\right)$, получим:

$H\left(\omega\right) = \frac{a + be^{-i \omega \tau}} {1 - ce^{-i \omega \tau}}$

См. также

• Цифровая обработка сигналов
• Электронный фильтр
• Линейный фильтр