Гребень Дирака

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гребень Дирака - бесконечный ряд

Гребень Дирака — это периодическое распределение Шварца, построенное из дельта-функций

\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)

для некоторого заданного периода T.

Ряды Фурье[править | править исходный текст]

Очевидно, что ΔT(t) периодическая с периодом T. Поэтому

\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)\,

для всех t. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции

 \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \

где cn коэффициенты Фурье, равные

c_n\, = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \
= \frac{1}{T}. \

В результате того, что все коэффициенты Фурье равны 1/T, получаем окончательное выражение

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Bracewell, R.N. (1986), «The Fourier Transform and Its Applications» (revised ed.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
  • Córdoba, A (1989), "«Dirac combs»", Letters in Mathematical Physics Т. 17: 191–196