Группа Гротендика

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть $M$ — коммутативный моноид, т. е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в $M$ назовём сложением. Группа Гротендика моноида $M$ (обозначается обычно $K$ или $K_{0}$) — это абелева группа, которая является (в определённом смысле) расширением моноида $M$ до группы, т. е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть $M$ — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика $K$ должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

$i\colon M\rightarrow K$

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

$f\colon M\rightarrow A$

в абелеву группу $A$ существует единственный гомоморфизм абелевых групп

$g\colon K\rightarrow A$

такой, что

$f=g\circ i.$

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид $M$ в его группу Гротендика $K$, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение

Рассмотрим декартово произведение $M\times M$, элементами которого являются пары $(a,b)$, где $a,b\in M$. По определению, пары $(a,b)$ соответствуют разностям $a-b$, сложение которых задается формулой

$(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').$

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида $M$).

Для того, чтобы определить группу Гротендика $K$, нужно ввести на множестве $M\times M$ отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы $(a,b)$ и $(a',b')$, для которых выполнено равенство

$a+b'+c=a'+b+c$

с некоторым элементом $c\in M$. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента $(a,b)$ включает в себя элементы $(a+c,b+c)$ при всех $c\in M$. Этот класс называется формальной разностью элементов $a$ и $b$ и обозначается $a-b$.

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика $K$ моноида $M$.

Нейтральный (нулевой) элемент группы $K$ — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида $(a,a)$ при всевозможных $a\in M$. Элемент, противоположный к элементу $(a,b)$, имеет вид $(b,a)$ (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение $M\to K$, которое позволяет считать $K$ расширением $M$. Именно, каждому элементу $a\in M$ ставится в соответствие формальная разность $a-0$, т.е. класс элементов $(a+c,c)$ при всевозможных $c\in M$.

Примеры

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением $(\mathbb {N} ,+)$ действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел $n-m$ с отношением эквивалентности

$n-m\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.$

Теперь определим

$n:=[n-0],$

$-n:=[0-n]$

для всех $n\in \mathbb {N}$. Эта конструкция определяет целые числа $\mathbb {Z}$.

Ссылки

• Grothendieck group Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3.