Группа Гротендика

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть $\,M$ — коммутативный моноид, т.е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в $\,M$ назовём сложением. Группа Гротендика моноида $\,M$ (обозначается обычно $\,K$ или $\,K_0$) — это абелева группа, которая является (в определенном смысле) расширением моноида $\,M$ до группы, т.е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Явное определение

Рассмотрим декартово произведение $M \times M$, элементами которого являются пары $\,(a,b)$, где $\,a,b \in M$. По определению, пары $\,(a,b)$ соответствуют разностям $\,a-b$, сложение которых задается формулой

$\,(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').$

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида $\,M$).

Для того, чтобы определить группу Гротендика $\,K$, нужно ввести на множестве $\,M \times M$ отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы $\,(a,b)$ и $\,(a',b')$, для которых выполнено равенство

$\,a+b'+c = a'+b+c$

с некоторым элементом $\,c \in M$. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента $\,(a,b)$ включает в себя элементы $\,(a+c,b+c)$ при всех $\,c \in M$. Этот класс называется формальной разностью элементов $\,a$ и $\,b$ и обозначается $\,a-b$.

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика $\,K$ моноида $\,M$.

Нейтральный (нулевой) элемент группы $\,K$ — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида $\,(a,a)$ при всевозможных $\,a \in M$. Элемент, противоположный к элементу $\,(a,b)$, имеет вид $\,(b,a)$ (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение $\,M \to K$, которое позволяет считать $\,K$ расширением $\,M$. Именно, каждому элементу $\,a \in M$ ставится в соответствие формальная разность $\,a-0$, т.е. класс элементов $\,(a+c,c)$ при всевозможных $\,c \in M$.

Ссылки

• Grothendieck group
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D.W.Anderson, Fall 1964), published in 1967, W.A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3