Группа Гротендика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе в теории представлений, алгебраической геометрии, K-теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950-х годов.

Пусть \,M — коммутативный моноид, т.е. коммутативная полугруппа с нейтральным элементом. Операцию в \,M назовём сложением. Группа Гротендика моноида \,M (обозначается обычно \,K или \,K_0) — это абелева группа, которая является (в определенном смысле) расширением моноида \,M до группы, т.е. допускает операцию не только суммы, но и разности двух элементов.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

В наиболее простых терминах, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ превратить этот моноид в абелеву группу. Пусть М — коммутативный моноид, его группа Гротендика N должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

 i:M\rightarrow N

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

 f:M\rightarrow A

в абелеву группу А существует единственный гомоморфизм абелевых групп

 g:N\rightarrow A

такой, что

 f=g\circ i.

В терминах теории категорий, функтор, посылащий коммутативный моноид M в его группу Гротендика N, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Явное определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим декартово произведение M \times M, элементами которого являются пары \,(a,b), где \,a,b \in M. По определению, пары \,(a,b) соответствуют разностям \,a-b, сложение которых задается формулой

\,(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида \,M).

Для того, чтобы определить группу Гротендика \,K, нужно ввести на множестве \,M \times M отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы \,(a,b) и \,(a',b'), для которых выполнено равенство

\,a+b'+c = a'+b+c

с некоторым элементом \,c \in M. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента \,(a,b) включает в себя элементы \,(a+c,b+c) при всех \,c \in M. Этот класс называется формальной разностью элементов \,a и \,b и обозначается \,a-b.

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика \,K моноида \,M.

Нейтральный (нулевой) элемент группы \,K — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида \,(a,a) при всевозможных \,a \in M. Элемент, противоположный к элементу \,(a,b), имеет вид \,(b,a) (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение \,M \to K, которое позволяет считать \,K расширением \,M. Именно, каждому элементу \,a \in M ставится в соответствие формальная разность \,a-0, т.е. класс элементов \,(a+c,c) при всевозможных \,c \in M.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением  (\mathbb N, +) действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел n-m с отношением эквивалентности
n - m \sim n' - m' \leftrightarrow n + m' = n'+ m.
Теперь определим
 n := [n-0] ,
 -n := [0 - n]
для всех  n\in\mathbb N . Эта конструкция определяет целые числа  \mathbb Z .

Ссылки[править | править вики-текст]