Группа Матьё

Группы Матьё — это пять спорадических простых групп, M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ и M₂₄, введённые Эмилем Леонардом Матьё. Группы являются кратно транзитивными группами перестановок 11, 12, 22, 23 или 24 объектов. Это были первые открытые спорадические группы.

Иногда используются обозначения M₉, M₁₀, M₂₀ и M₂₁ для связанных групп (которые действуют на множествах с 9, 10, 20 и 21 точками, соответственно), а именно стабилизаторы точек в бо́льших группах. Хотя они не являются спорадическими простыми группами, они являются подгруппами бо́льших групп и могут быть использованы для их построения. Джон Конвей показал, что можно продолжить эту последовательность, получая группоид Матьё M₁₃, действующий на 13 точек. M₂₁ является простой, но не спорадической группой, будучи изоморфной PSL(3,4).

История

Матьё ввёл группу M₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и коротко упомянул (на стр. 274) группу M₂₄, указав её порядок. В статье 1873 года он привёл дополнительные детали, включая явные порождающие множества для этих групп, но группу нелегко увидеть из его аргументов, что сгенерированные группы не просто знакопеременные группы и несколько лет существование групп было под сомнением. Миллер даже опубликовал статью с ошибочным доказательством, что M₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в статье 1900 года он признал, что доказательство имело ошибки, и дал доказательство, что группы Матьё просты. Витт, наконец, прекратил сомнения о существовании этих групп путём построения их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также как группы автоморфизмов систем Штейнера.

После групп Матьё не было обнаружено новых спорадических групп до 1965, когда была открыта группа J₁.

Кратно транзитивные группы

Матьё был заинтересован в нахождении кратно транзитивных групп перестановок. Для натурального числа k, группа перестановок G, действующая на n точек, является k-транзитивной, если при задании двух множеств точек a₁, … a_k и b₁, … b_k со свойством, что все a_i различны и все b_i различны, существует элемент g группы G, который отображает a_i в b_i для всех i от 1 до k. Такая группа называется остро k-транзитивной, если элемент g единственен (то есть действие на k-кортежи регулярно (строго транзитивно), а не просто транзитивно).

Группа M₂₄ 5-транзитивна, а группа M₁₂ — остро 5-транзитивна. Другие группы Матьё (простые и не простые), будучи подгруппами, соответствующими стабилизаторам m точек, имеют более низкую транзитивность (M₂₃ 4-транзитивна, и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметрические группы S_k для k не меньшего 4, знакопеременные группы A_k для k, равного 6 и выше, и группы Матьё M₂₄, M₂₃, M₁₂ и M₁₁.

Классическим результатом является результат Жордана, что только симметрическая и знакопеременные группы (степеней k и k + 2 соответственно), а также M₁₂ и M₁₁ являются остро k-транзитивными группами перестановок для k не меньшего 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и группы Цассенхауса. Группы Цассенхауса, в частности, включают проективную общую линейную группу проективной прямой над конечным полем, PGL(2,F_q), которая является остро 3-транзитивной (см. Двойное отношение) на $q+1$ элементах.

Таблица порядков и транзитивности

Группа	Порядок	Порядок (произведение)	Разложение порядка	Транзитивность	Простая	Спорадическая
M24	244823040	3•16•20•21•22•23•24	210•33•5•7•11•23	5-транзитивная	да	спорадическая
M23	10200960	3•16•20•21•22•23	27•32•5•7•11•23	4-транзитивная	да	спорадическая
M22	443520	3•16•20•21•22	27•32•5•7•11	3-транзитивная	да	спорадическая
M21	20160	3•16•20•21	26•32•5•7	2-транзитивная	да	≈ PSL3(4)
M20	960	3•16•20	26•3•5	1-транзитивная	нет
M12	95040	8•9•10•11•12	26•33•5•11	остро 5-транзитивная	да	спорадическая
M11	7920	8•9•10•11	24•32•5•11	остро 4-транзитивная	да	спорадическая
M10	720	8•9•10	24•32•5	sостро 3-транзитивная	почти	M10' ≈ Alt6
M9	72	8•9	23•32	остро 2-транзитивная	нет	≈ PSU3(2)
M8	8	8	23	остро 1-транзитивная (регулярна)	нет	≈ Q

Построение групп Матьё

Группы Матьё можно построить разными способами.

Группы перестановок

M₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна проективной специальной линейной группе PSL₂(F₁₁) над полем из 11 элементов. Если −1 обозначить как a, а бесконечность как b, двумя стандартными генераторами являются перестановки (0123456789a) и (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Третий генератор, дающий M₁₂, переводит элемент x группы F₁₁ в $4x^{2}-3x^{7}$, как при перестановке (26a7)(3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному из членов бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M₁₁ является стабилизатором точки в M₁₂ и тоже оказывается спорадической простой группой. M₁₀, стабилизатор двух точек, не является спорадическим, но является почти простой группой, коммутант которой является знакопеременной группой A₆. Он связан с исключительным внешним автоморфизмом группы A₆. Стабилизатор 3 точек является проективной специальной унитарной группой PSU(3,2²), которая является разрешимой. Стабилизатор 4 точек является группой кватернионов.

Подобным же образом, M₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL₂(F₂₃). Один генератор добавляет 1 каждому элементы поля (оставляя точку N на бесконечности неподвижной), то есть перестановка (0123456789ABCDEFGHIJKLM)(N), а другой является обращающей порядок перестановкой, (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Третий генератор, дающий M₂₄, переводит элемент x группы F₂₃ в $4x^{4}-3x^{15}$. Вычисления показывают, что это перестановка (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 точек, M₂₃ и M₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор 3 точек является простой группой и изоморфен проективной специальной линейной группе PSL₃(4).

Эти построения были процитированы Кармайклом. Диксон и Мортимер приписывают перестановки Эмилю Матьё.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,8,24) система Штейнера W₂₄ (схема Витта). Группа M₂₄ является группой автоморфизмов этой системы Штейнера, то есть множество перестановок, которые отображают каждый блок в некоторый другой блок. Подгруппы M₂₃ и M₂₂ определяются как стабилизаторы одной точки и двух точек соответственно.

Подобным образом, существует с точностью до эквивалентности единственная S(5,6,12) система Штейнера W₁₂, а группа M₁₂ является её группой автоморфизмов. Подгруппа M₁₁ является стабилизатором точки.

W₁₂ можно построить из аффинной геометрии на векторном пространстве F₃×F₃, системы S(2,3,9).

Альтернативное построение W₁₂ — «котёнок» Кёртиса.

Введение в построение W₂₄ с помощью чудесного генератора октад Р. Т. Кёртиса и аналога для W₁₂ (miniMOG) Конвея можно найти в книге Конвея и Слоуна.

Группы автоморфизмов кодов Голея

Группа M₂₄ является группой автоморфизмов перестановок расширенного двоичного кода Голея W, то есть группы перестановок 24 координат, отображающих W в себя. Все группы Матьё можно построить как группы перестановок бинарных кодов Голея.

M₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, а M₁₂:2 оказывается изоморфной подгруппе группы M₂₄. M₁₂ является стабилизатором кода из 12 единиц. M₁₂:2 стабилизирует раздел в двух комплементарных кодах из 12 бит.

Существует естественная связь между группами Матьё и бо́льшими группами Конвея, поскольку решётка Лича была построена на бинарном коде Голея и обе группы, фактически, лежат в пространстве размерности 24. Группы Конвея обнаруживаются в Монстре. Роберт Грис ссылается на 20 спорадических групп, найденных в Монстре, как Счастливое семейство, а на группы Матьё как первое поколение.

Dessins d’enfants

Группы Матьё можно построить с помощью dessins d'enfants (фр: детский рисунок), а рисунок, ассоциированный с M₁₂, ле Брюн назвал «Monsieur Mathieu» (Месье Матьё).

Ссылки

• ATLAS: Mathieu group M₁₀ Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₁₁ Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₁₂ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₀ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₁ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₂ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₃ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• ATLAS: Mathieu group M₂₄ Архивная копия от 16 июля 2011 на Wayback Machine
• How to Make the Mathieu Group M₂₄.
• Mathieu group M₉ on GroupNames

• Scientific American Архивная копия от 8 сентября 2008 на Wayback Machine A set of puzzles based on the mathematics of the Mathieu groups
• Sporadic M12 Архивная копия от 2 декабря 2017 на Wayback Machine An iPhone app that implements puzzles based on M₁₂, presented as one «spin» permutation and a selectable «swap» permutation