Группа кос

Произведение кос

Группа кос — группа, образованная для заданного $n$ всеми косами из $n$ нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом $B_{n}$.

Группа кос наделяется рядом математических структур, происходящих из алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, и допускает множество различных интерпретаций.

Группа $B_{n}$ впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году (см. Теория кос § История).

Определение

Группа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Основная статья: Коса (математика) § Произведение кос

Классический подход к определению группы кос основан на конструкции умножения кос. Так, произведением двух кос $\alpha$ и $\beta$ из одинакового числа нитей называется коса $\alpha \beta$, полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы.

Такое умножение задаёт на множестве $B_{n}$ всех кос из $n$ нитей ассоциативную бинарную операцию. Тривиальная коса из $n$ нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из $B_{n}$ обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса, которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитям. Таким образом, вместе с операцией умножения множество $B_{n}$ является группой, которая называется группой кос из $n$ нитей.

Данный подход к определению группы кос восходит к теории узлов.

Образующие Артина, обратные к ним и коса, заданная некоторым артиновским словом

Задание образующими и соотношениями

Основная статья: Теорема Артина о задании группы кос

Согласно теореме Артина, группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание:

$B_{n}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}$ для $1\leq i\leq n-2;\ \ \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$ для $|i-j|\geq 2\rangle$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к комбинаторной теории групп.

Траектории движения точек на плоскости

Основная статья: Конфигурационное пространство § Роль в теории кос

Группа кос может быть задана своим классифицирующим пространством, а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ неупорядоченных наборов $n$ различных точек евклидовой плоскости:

$B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к теории гомотопий.

Автоморфизмы свободной группы

Основная статья: Группа автоморфизмов свободной группы § Роль в теории кос

Группа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого диска с $n$ проколами:

$B_{n}\cong {\rm {Mod}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})$.

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к двумерной топологии.

Свойства

Согласно теореме Артина, группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна:

$B_{1}=\{1\}$.

Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической:

$B_{2}\cong \langle \sigma _{1}\mid \varnothing \rangle \cong \mathbb {Z}$.

Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника:

$B_{3}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle$.

При $n\geq 3$ ранг группы кос $B_{n}$ равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевой), но может быть порождена двумя элементами $\sigma _{1}$ и $\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}$.

Абелианизация и коммутант

При $n\geq 2$ абелианизация группы кос $B_{n}$ изоморфна бесконечной циклической группе:

$B_{n}/[B_{n},B_{n}]\cong \mathbb {Z}$.

Гомоморфизм абелианизации $B_{n}\to \mathbb {Z}$ сопоставляет косе $\beta$ её экспоненциальную сумму ${\rm {exp}}(\beta )$.

Таким образом, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю:

$[B_{n},B_{n}]=\{\beta \in B_{n}\mid {\rm {exp}}(\beta )=0\}$.

Например, группа $[B_{3},B_{3}]$ является свободной ранга два с базисом $\sigma _{2}\sigma _{1}^{-1}$ и $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}$.

Центр

Полный оборот лежит в центре группы кос

Центр группы кос является циклическим. А именно, при $n\geq 3$ он порождается полным оборотом:

$Z(B_{n})=\langle \Delta _{n}^{2}\rangle$.

Кроме того,

$Z(B_{2})=\langle \Delta _{1}\rangle =B_{2}$.

Данное свойство позволяет установить, что при $n\neq m$ группы $B_{n}$ и $B_{m}$ не изоморфны.

Автоморфизмы

Задача описания автоморфизмов группы кос была поставлена Эмилем Артином в 1947 году и решена в 1981 году в работе Джоан Дайер и Эдны Гроссман.

При $n\geq 2$ группа внешних автоморфизмов ${\rm {Out}}(B_{n})$ группы кос $B_{n}$ является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения $\tau _{n}$, действующего на образующих Артина формулой

$\sigma _{i}\mapsto \sigma _{i}^{-1}$.

Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм

${\rm {Out}}(B_{n})\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Точная последовательность

$1\to {\rm {Inn}}(B_{n})\to {\rm {Aut}}(B_{n})\to {\rm {Out}}(B_{n})\to 1$

расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение:

${\rm {Aut}}(B_{n})\cong {\rm {Inn}}(B_{n})\rtimes \langle \tau _{n}\rangle$.

Группа внутренних автоморфизмов ${\rm {Inn}}(B_{n})$ группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с $n$ проколами:

${\rm {Inn}}(B_{n})\cong B_{n}/Z(B_{n})\cong {\rm {Mod}}(S_{n}^{2})$.

Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе:

${\rm {Inn}}(B_{3})\cong B_{3}/Z(B_{3})\cong {\rm {Mod}}(S_{3}^{2})\cong {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )$.

Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с $n$ проколами:

${\rm {Aut}}(B_{n})\cong {\rm {Mod}}^{\pm }(S_{n}^{2})$.

Кручение

При $n\geq 2$ группа кос не имеет кручения. Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.

Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах кос. Например, порядка Деорнуа.

Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ является асферическим многообразием.

Остаточная конечность и хопфовость

При $n\geq 2$ группа кос $B_{n}$ является остаточно конечной. В частности, она хопфова.

Извлечение корней

Извлечение корней из кос однозначно с точностью до сопряженности

Для данных косы $\beta \in B_{n}$ и целого числа $m$ задача определения того, существует ли коса $\alpha \in B_{n}$ со свойством $\alpha ^{m}=\beta$, алгоритмически разрешима. Но такая коса $\alpha$ не обязательно единственна. Например, для любого $n\geq 2$ в группе кос $B_{n}$ фундаментальная коса $\Delta _{n}^{2}$ допускает следующие представления:

$(\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1})^{n}=(\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1})^{n}$.

При $n\geq 3$ косы $\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}$ и $\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1}$ различны, поскольку, например, различны их перестановки.

В сборнике открытых проблем комбинаторной теории групп Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью классификации Нильсена-Тёрстона, она была доказана. Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности.

Псевдохарактеры

При $n\geq 3$ пространство псевдохарактеров группы кос $B_{n}$ бесконечномерно. Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы.

Линейность

При всех $n\geq 1$ группа кос $B_{n}$ является линейной, то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Лоуренс – Краммера – Бигелоу является точным. Представление Бурау, напротив, имеет нетривиальное ядро при всех $n\geq 5$, но является точным при $n\leq 3$, а вопрос о его точности при $n=4$ остаётся открытым.

Подгруппы

Образующие Маркова группы крашеных кос

Группа крашеных кос

Основная статья: Группа крашеных кос

Множество всех крашеных кос из $n$ нитей образует нормальную подгруппу группы кос $B_{n}$, которая обозначается символом $P_{n}$.

Для каждого $n\in \mathbb {N}$ группа $P_{n}$ является конечнопорождённой, а именно, она порождается $n(n-1)/2$ косами

$A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1},$

называющимися образующими Маркова, где $i$ и $j$ таковы, что $1\leq i<j\leq n.$

Факторгруппы

Симметрическая группа

Сопоставление $\beta \mapsto \pi _{\beta }$ косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм

$\pi \colon B_{n}\to S_{n}$

из группы кос в симметрическую группу. Он переводит образующие Артина $\sigma _{i}$ в элементарные транспозиции $s_{i}:=(i,i+1)$.

С помощью данного эпиморфизма косы из $n$ нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества $\{1,2,\ldots ,n\}$. Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, обобщает тот факт, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций $s_{i}$. Принципиальное отличие состоит в том, что $\sigma _{i}\neq \sigma _{i}^{-1}$, в то время как $s_{i}=s_{i}^{-1}$. Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций $(i,i+1)$ необходимо задать не только индексы $i$, но то, ‎как именно на этом участке нити под номерами $i$ и $i+1$ меняются местами — проходит первая или под второй. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.

Ядром эпиморфизма $\pi$ является группа крашеных кос $P_{n}$. Согласно теореме о гомоморфизме,

$B_{n}/P_{n}\cong S_{n}$.

В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы $B_{n}$ индекса $n!$.

Усечённая группа кос

См. также: Коса (математика) § Локальные преобразования кос

Для $n,m\in \mathbb {N}$ группа $B_{n}(m)$, заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос $B_{n}$, а также дополнительной серией соотношений вида

$\sigma _{i}^{m}=1$ для $1\leq i\leq n-1,$

называется усечённой группой кос.

Например, при $m=2$ данное описание является стандартным заданием симметрической группы:

$B_{n}(2)\cong S_{n}$.

Две косы из $n$ нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

$B_{n}\to B_{n}(m)$

в том и только том случае, если одну косу можно получить из другой конечной последовательностью $m$-преобразований (см. Коса (математика) § Локальные преобразования кос).

Как показал Гарольд Коксетер, при $n,m\geq 3$ группа $B_{n}(m)$ конечна тогда и только тогда, когда

$(n,m)\in \{(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)\}$,

причем в этих случаях порядок группы $B_{n}(m)$ равен, соответственно, $24,$ $96,$ $600,$ $648$ и $155520.$

Группа гомотопических кос

См. также: Теория кос § Гомотопия геометрических кос

Для $n\in \mathbb {N}$ группа ${\hat {B}}_{n}$, заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос $B_{n}$, а также дополнительной бесконечной серией соотношений вида

$[A_{j,k},gA_{j,k}g^{-1}]=1$ для $1\leq j<k\leq n$ и элемента $g$ подгруппы группы крашеных кос, порождённой элементами $A_{1,k},A_{2,k},\ldots ,A_{k-1,k},$

где символ $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ обозначает коммутатор элементов $x$ и $y$, а символ $A_{j,k}$ обозначает образующую Маркова группы крашеных кос, называется группой гомотопических кос.

Две косы из $n$ нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

$B_{n}\to {\hat {B}}_{n}$

в том и только том случае, если они гомотопны.

См. также

• Коса (математика)
• Теория кос
• Группа крашеных кос

Литература

• Сосинский, А. Б. Узлы и косы (рус.). — М.: МЦНМО, 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6.
• Мантуров, В. О. Экскурс в теорию кос // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 3, вып. 14. — С. 107–142. — ISBN 978-5-94057-597-9.
• Сосинский, А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории (рус.). — М.: МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0.
• Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
• Прасолов, В. В, Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.). — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.
• Мантуров, В. О. Теория узлов (рус.). — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.
• Murasugi, K, Kurpita, B. I. A Study of Braids. — Springer, 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4. — doi:10.1007/978-94-015-9319-9.

Ссылки

• Artin, E.. Theory of Braids (англ.) // Annals of Mathematics. — 1947. — Vol. 48, no. 1. — P. 101–126. — doi:10.2307/1969218.
• Baumslag, G, Myasnikov, A. G, Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory (англ.) // Combinatorial and Geometric Group Theory. — Contemporary Mathematics, 2002. — Vol. 296, iss. 2. — P. 1-38. — ISBN 978-0-8218-7886-6. — doi:10.1090/conm/296.
• Gonzalez-Meneses, J. The nth root of a braid is unique up to conjugacy. — Algebraic & Geometric Topology, 2003. — № 3. — С. 1103–1118.
• Малютин, А. В.. Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, вып. 2. — С. 113—135.
• Dyer, J. L, Grossman, K. E. The Automorphism Groups of the Braid Groups. — American Journal of Mathematics, 1981. — Т. 103, № 6. — С. 1151–1169.
• CRAG: CRyptography and Groups at Algebraic Cryptography Center Contains extensive library for computations with Braid Groups
• P. Fabel, Completing Artin’s braid group on infinitely many strands, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
• P. Fabel, The mapping class group of a disk with infinitely many holes, Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
• Группа кос — статья из Математической энциклопедии. Чернавский А. В.
• Java-приложение Архивная копия от 4 июня 2013 на Wayback Machine, моделирующее группу B₅.
• C. Nayak and F. Wilczek’s connection of projective braid group representations to the fractional quantum Hall effect [1] Архивная копия от 5 октября 2018 на Wayback Machine
• Presentation for FradkinFest by C. V. Nayak [2]
• N. Read’s criticism of the reality of Wilczek-Nayak representation [3] Архивная копия от 5 октября 2018 на Wayback Machine