Группа кос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, группа кос на n нитях, обозначаемая Bn — группа, которая имеет простое геометрическое описание и в некотором смысле обобщает симметрическую группу Sn. Группы кос применяются в теории узлов, а также в некоторых физических моделях. Группа кос была явно описана Эмилем Артином в 1925 году.

Интуитивное описание[править | править вики-текст]

Рассмотрим случай n = 4, из этого примера легко будет понять, что представляет собой произвольная группа кос. Рассмотрим две параллельные прямые (на рисунке они расположены вертикально), на каждой из которых лежит по четыре пронумерованные точки, так что точки с одинаковыми номерами находятся друг против друга. Разобьем точки на пары и с помощью нитей соединим их. Если изобразить получившуюся картинку в плоскости, некоторые нити могут проходить друг под другом (можно считать, что нити всегда пересекаются трансверсально). При этом важно учитывать порядок следования нитей в точке пересечения:

  The braid sigma_1^(-1)   отличается от   The braid sigma_1

С другой стороны, две такие конфигурации, которые можно сделать одинаковыми перемещением нитей, не затрагивающим конечные точки, мы будем считать одинаковыми:

  The braid sigma_1^(-1)   не отличается от   Another representation of sigma_1^(-1)

Все нити должны быть направлены слева направо, то есть каждая из нитей может пересекать вертикальную прямую (параллельную прямым с пронумерованными точками) не более чем в одной точке:

  Not a braid    не является косой.

Для двух кос можно рассмотреть их композицию, нарисовав вторую рядом с первой, то есть склеив соответствующие четыре концевые точки:

  Braid s3.png   ×   Braid s2.png   =   Braid s3s2.png

Группа B4 — это фактор множества всех таких конфигураций на четырех парах точек по отношению эквивалентности, заданному непрерывными преобразованиями плоскости, на котором указанным выше способом задана групповая операция. Данная операция удовлетворяет всем аксиомам группы; в частности, нейтральный элемент — класс эквивалентности четырёх параллельных нитей и для каждого элемента обратный к нему можно получить симметрией относительно вертикальной прямой.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Строго формализовать данное выше описание можно несколькими способами:

  • Геометрический способ использует понятие гомотопии, а именно, Bn определяется как фундаментальная группа n-й степени пространства R2 по фактору симметрической группы, то есть множества n точек на плоскости с соответствующей топологией.
  • Также можно дать чисто алгебраическое описание, задав образующие и соотношения. Оказывается, что Bn порождается (n − 1) элементом. Например, любой элемент B4 можно записать как композицию следующих трёх элементов (и обратных к ним):
  Braid s1.png   Braid s2.png   Braid s3.png
  σ1
  σ2
  σ3

Чтобы понять, почему это интуитивно очевидно, «просканируем» картинку, перемещая вертикальную прямую слева направо. Всякий раз, когда i-я сверху (на данной прямой) нить проходит под (i + 1)-й, будем писать σi, а если над (i + 1)-й, то σi−1.

Очевидно, что выполняется соотношение σ1σ3 = σ3σ1, тогда как чуть более трудно увидеть, что σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2 (убедиться в этом проще всего, нарисовав линии на листке бумаги). Можно доказать, что все соотношения между элементами группы кос следуют из соотношений такого вида. А именно, группу кос можно задать следующим образом:

 B_n=\langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1} \ | \ 
\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \ 
\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \rangle,

где 1 ≤ in − 2 (для первой группы соотношений) и |ij| ≥ 2 (для второй группы).

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

  • Группа B1 тривиальна, B2 бесконечна (как и все последующие группы кос) и изоморфна Z, B3 изоморфна группе узла (англ.) трилистника.
  • Все элементы Bn, кроме нейтрального, имеют бесконечный порядок; то есть Bn не имеет кручения.
  • Существует сюръективный гомоморфизм BnSn из группы кос в группу перестановок. Действительно, каждому элементу группы Bn можно сопоставить перестановку множества n вершин, при которой левому концу каждой «нити» сопоставляется правый её конец.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]