Группа кос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, группа кос на n нитях, обозначаемая Bn — группа, которая имеет простое геометрическое описание и в некотором смысле обобщает симметрическую группу Sn. Группы кос применяются в теории узлов, а также в некоторых физических моделях. Группа кос была явно описана Эмилем Артином в 1925 году.

Интуитивное описание[править | править исходный текст]

Рассмотрим случай n = 4, из этого примера легко будет понять, что представляет собой произвольная группа кос. Рассмотрим две параллельные прямые, на каждой из которых лежит по четыре занумерованные точки, так что точки с одинаковыми номерами находятся друг против друга. Разобъем точки на пары и с помощью нитей соединим их. Если изобразить получившуюся картинку в плоскости, некоторые нити могут проходить друг под другом (можно считать, что нити всегда пересекаются трансверсально). При этом важно учитывать порядок следования нитей в точке пересечения:

The braid sigma_1^(-1) отличается от The braid sigma_1

С другой стороны, две такие конфигурации, которые можно сделать одинаковыми перемещением нитей, не затрагивающим конечные точки, мы будем считать одинаковыми:

The braid sigma_1^(-1) не отличается от Another representation of sigma_1^(-1)

Все нити должны быть направлены слева направо, то есть одна нить может пересекать «вертикальную» прямую не более чем в одной точке:

Not a braid не является косой.

Для двух кос можно рассмотреть их композицию, нарисовав вторую рядом с первой, то есть склеив соответствующие четыре концевые точки:

Braid s3.png × Braid s2.png = Braid s3s2.png

Группа B4 — это фактор множества всех таких конфигураций на четырех парах точек по отношению эквивалентности, заданному непрерывными преобразованиями плоскости, на котором указанным выше способом задана групповая операция. Очевидно, что эта операция ассоциативна; единица группы — класс эквивалентности четырех параллельных нитей; для каждого элемента обратный к нему можно получить симметрией относительно «вертикальной» прямой.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Строго формализовать данное выше описание можно несколькими способами. Более геометричный использует понятие гомотопии, а именно, Bn — это фундаментальная группа n-й степени пространства R2 по фактору симметрической группы, то есть множества n-ок точек на плоскости с соответствующей топологией. Также можно дать чисто алгебраическое описание, задав образующие и соотношения. Оказывается, что Bn порождается n-1 элементом; например, любой элемент B4 можно записать как композицию следующих трёх элементов (и обратных к ним):

Braid s1.png Braid s2.png Braid s3.png
σ1
σ2
σ3

Чтобы понять, почему это интуитивно очевидно, «просканируем» картинку, перемещая вертикальную прямую слева направо; всякий раз, когда i-я сверху (на данной прямой!) нить проходит под i+1-й, будем писать σi, и σi−1, если она проходит сверху.

Очевидно, что выполняется соотношение σ1σ3 = σ3σ1, тогда как чуть более трудно увидеть, что σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2 (проще всего это признать, нарисовав линии на листке бумаги). Можно доказать, что все соотношения между элементами группы кос следуют из соотношений такого вида. А именно, группу кос можно задать следующим образом:

 B_n=\langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}|
\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, 
\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \rangle,

где в первой группе соотношений 1 ≤ in−2, а во второй группе |ij| ≥ 2.

Некоторые свойства[править | править исходный текст]

  • Группа B1 тривиальна, B2 бесконечна (как и все последующие группы кос) и изоморфна Z, B3 изоморфна группе узла (англ.) трилистника.
  • Все элементы Bn, кроме нейтрального, имеют бесконечный порядок; то есть Bn не имеет кручения.
  • Существует сюръективный гомоморфизм BnSn из группы кос в группу перестановок. Действительно, каждому элементу группы Bn можно сопоставить перестановку множества n вершин, при которой левому концу каждой «нити» сопоставляется правый её конец.

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]