Групповой объект

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Групповой объект — это обобщение понятия группы на объект произвольной категории, во многих случаях групповой объект можно понимать как группу с дополнительной структурой. Типичный пример — топологическая группа, имеющая структуру топологического пространства, согласующуюся с групповой структурой, в том смысле, что групповая операция непрерывна.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть C — категория с терминальным объектом 1, в которой для любых двух объектов существует их произведение. Групповой объект в C — это объект G категории C вместе с тройкой морфизмов:

  • m : G × GG (морфизм, соответствующий «групповой операции»)
  • e : 1 → G («вложение тождественного элемента»)
  • inv: GG («взятие обратного элемента»),

для которых должны выполняться следующие свойства (соответствующие аксиомам группы):

  • m ассоциативен, то есть m\circ (m\times \mathrm{id}_G) и m\circ (\mathrm{id}_G \times m) — один и тот же морфизм G\times G\times G\to G (здесь мы каноническим образом отождествляем (G\times G)\times G и G\times (G\times G));
  • e является двусторонне нейтральным элементом, то есть m\circ (e\times \mathrm{id}_G) = p_2, где p_2: 1\times G\to G — естественная проекция на второй множитель, и m\circ (\mathrm{id}_G\times e) = p_1, где p_1: G\times 1 \to G — естественная проекция на первый множитель;
  • обратный элемент действительно является обратным, то есть, если d : GG × G — диагональное отображение, а eG : GG — композиция единственного морфизма G → 1 и морфизма e, то m\circ (\mathrm{id}_G\times \mathrm{inv})\circ d=m\circ (\mathrm{inv}\times \mathrm{id}_G)\circ d=e_G.

Примеры[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
  • Lang, Serge (2002), Algebra. — Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag — ISBN 978-0-387-95385-4.