Двойные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа эллиптического типа — гиперкомплексные числа вида $a + e b$ , где $a$ и $b$ — вещественные числа и $e 2 = 1$ .

Сложение двойных чисел определяется формулой

(a 1 + e b 1) + (a 2 + e b 2) = (a 1 + a 2) + e (b 1 + b 2)

,

а умножение

(a 1 + e b 1)(a 2 + e b 2) = (a 1 a 2 + b 1 b 2) + e (a 1 b 2 + a 2 b 1)

.

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид $a\pm ae$ .

Если взять $α = (1 + e) / 2$ и $β = (1 - e) / 2$ , то

αβ = 0

,

α 2 = α

и

β 2 = β.

.

Любое двойное число может быть представлено как сумма $α x + β y$ , где $x$ и $y$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.