Двойные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Двойные числа или паракомплексные числа, расщепляемые комплексные числа, комплексные числа гиперболического типа — гиперкомплексные числа вида «a + j * b», где a и b — вещественные числа и j^2 = 1, j≠±1.

Определение[править | править исходный текст]

Алгебраическое определение[править | править исходный текст]

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y). Сложение и умножение определяются по правилам:

(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y')
(x,y) * (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x')

Числа вида (a,0) отождествляются с вещественными числами, а j = (0,1). Тогда соответствующие тождества принимают вид:

(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y')
(x + j y) * (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x')

Матричное представление[править | править исходный текст]

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

 j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}

Арифметические операции[править | править исходный текст]

  • Сложение
    (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j
  • Вычитание
    (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j
  • Умножение
    (a+bj)*(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j
  • Деление на число, не являющееся делителем нуля
    \frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j

Свойства[править | править исходный текст]

 \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x, где sh и ch — гиперболические синус и косинус.
 \sin j x = j \sin x
 \cos j x = \cos x

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. В отличие от поля комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля и все последние имеют вид «a * (1\pm j)».

Если взять \alpha=(1+j)/2 и \beta=(1-j)/2, то

\alpha \beta=0, \alpha^2=\alpha и \beta^2=\beta.

Любое двойное число может быть представлено как сумма \alpha x + \beta y, где x и y — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Ссылки[править | править исходный текст]