Двойные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Двойны́е чи́сла или паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и j^2 = 1, причём j ≠ ±1.

Определение[править | править вики-текст]

Алгебраическое определение[править | править вики-текст]

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел (x, y). Сложение и умножение определяются по правилам:

(x,y) + (x',y') = (x + x',y + y'),
(x,y) \cdot (x',y') = (x x' + y y',x y' + y x').

Числа вида (a,0) отождествляются с вещественными числами, а j = (0,1). Тогда соответствующие тождества принимают вид:

(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y'),
(x + j y) \cdot (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x').

Матричное представление[править | править вики-текст]

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

 j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}.

Арифметические операции[править | править вики-текст]

  • Сложение:
    (a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.
  • Вычитание:
    (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.
  • Умножение:
    (a+bj)\cdot(c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.
  • Деление на число, не являющееся делителем нуля:
    \frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j.

Свойства[править | править вики-текст]

 \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x, где sh и ch — гиперболические синус и косинус.
 \sin j x = j \sin x.
 \cos j x = \cos x.

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра двойных чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид a \cdot (1\pm j).

Если взять \alpha=(1+j)/2 и \beta=(1-j)/2, то

\alpha \beta=0, \alpha^2=\alpha и \beta^2=\beta.

Любое двойное число может быть представлено как сумма \alpha x + \beta y, где x и y — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение[править | править вики-текст]

Двойные числа иногда применяются в релятивистской кинематике.

Ссылки[править | править вики-текст]