Двойственность (теория категорий)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории C и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории Cop. Взяв утверждение, касающееся категории C и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории Cop. Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.

Пусть σ — любое слово языка. Двойственное ему слово σop образуется следующими правилами:

  • поменять местами все «образы» на «прообразы» в σ,
  • обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения g \circ f заменить на f \circ g.

Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.

Двойственность — это наблюдение, что σ выполняется в некоторой категории C тогда и только тогда, когда σop выполнено в Cop.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Морфизм f\colon A \to B — мономорфизм, когда из f \circ g = f \circ h следует g=h. Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из g \circ f = h \circ f следует g=h. Для морфизма f\colon B \to A, это значит в точности то, что f — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
  • Предел и копредел — двойственные понятия.
  • Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.

Литература[править | править вики-текст]