Дедекиндово сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Дедекиндово сечение (узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Введён Дедекиндом.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

[править] Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ на два подмножества $A$ и $B$ такие, что:

$a < b$ для любых $a\in A$ и $b\in B;$
$A$ не имеет максимального элемента.
$B$ не имеет минимального элемента.

[править] Примеры

Вещественному числу $\sqrt 2$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое $A=\{x\in\mathbb Q\mid x<0; 0; x^2\leqslant2\}$ и $B=\{x\in\mathbb Q\mid x>0; x^2>2\}\,$ . Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить $\sqrt 2$ , мы рассекли множество на две части: все числа, что левее $\sqrt 2$ , и все числа, что правее $\sqrt 2$ ; соответственно, $\sqrt 2$ равен точной нижней грани множества $B\,$ .