Дедекиндово сечение

Дедекиндово сечение (узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Введён Дедекиндом.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Определение

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ на два подмножества $A$ и $B$ такие, что:

1. $a<b$ для любых $a\in A$ и $b\in B;$
2. $A$ не имеет максимального элемента.

Примеры

Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу $\sqrt 2$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое

$A=\{x\in\mathbb Q\mid x\leqslant0 \or x^2\leqslant2\}$ и

$B=\{x\in\mathbb Q\mid x>0 \and x^2>2\}.\,$

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить $\sqrt 2$, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее $\sqrt 2$, и все числа, что правее $\sqrt 2$; соответственно, $\sqrt 2$ равен точной нижней грани множества $B\,$.

См. также

• Конструктивные способы определения вещественного числа