Дедекиндово сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дедекиндово сечение (узкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных. Введён Дедекиндом.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Определение[править | править вики-текст]

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел \mathbb{Q} на два подмножества A и B такие, что:

  1. a<b для любых a\in A и b\in B;
  2. A не имеет максимального элемента.

Примеры[править | править вики-текст]

Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу \sqrt 2 соответствует дедекиндово сечение, определяемое

A=\{x\in\mathbb Q\mid x\leqslant0 \or x^2\leqslant2\} и
B=\{x\in\mathbb Q\mid  x>0 \and x^2>2\}.\,

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить \sqrt 2, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее \sqrt 2, и все числа, что правее \sqrt 2; соответственно, \sqrt 2 равен точной нижней грани множества B\,.

См. также[править | править вики-текст]