Действие группы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вращения на углы кратные 120° вокруг центра равностороннего треугольника действует на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Определения[править | править исходный текст]

Действие слева[править | править исходный текст]

Говорят, что группа G действует слева на множестве M, если задан гомоморфизм \Phi\colon G\to S(M) из группы G в симметрическую группу S(M) множества M. Для краткости (\Phi(g))(m) часто записывают как gm, g\cdot m или g.m. Элементы группы G называются в этом случае преобразованиями, а сама группа Gгруппой преобразований множества M.

Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение G\times M\to M. обозначаемое (g,m)= gm, такое что

  1. (gh)m=g(hm) для всех g,\;h\in G, m\in M и
  2. em=m, где e — нейтральный элемент группы G. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу M его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа[править | править исходный текст]

Аналогично, правое действие группы G на M задается гомоморфизмом \rho: G^{op} \to S(M), где G^{op}инверсная группа группы G. При этом часто используют сокращенное обозначение: \rho(g)(m) =: xg. При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

  1. m(gh) = (mg)h,
  2. me = m.

Комментарии[править | править исходный текст]

  • Любое правое действие группы G — это левое действие группы G^{op}. Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение g \mapsto g^{-1}), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
  • Если множество M снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение m\mapsto gm сохраняет эту структуру.
    • Например, если Mтопологическое пространство, то m\mapsto gm предполагается непрерывным (а, значит, автоморфизмом). Такое действие более точно называется непрерывным действием.

Типы действий[править | править исходный текст]

  • Свободное, если для любых различных g,\;h\in G и любого m\in M выполняется gm\ne hm.
  • Транзитивное если для любых m,\;n\in M существует g\in G такой, что gm=n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm=M для любого элемента m\in M.
  • Эффективное, если для любых g,\;h\in G существует m\in M такой, что gm\ne hm.
  • Вполне разрывное, если для любого компактного множества K, множество всех  g \in G, для которых пересечение K \cap gK непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделенных соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие \rho: G \to \mathrm{X}топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение двух топологических пространств. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

  • Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом множестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
    • Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.

Орбиты[править | править исходный текст]

Подмножество

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

называется орбитой элемента m\in M.

Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim_{_G} \,m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то

M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,

где m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k=1.

Стабилизаторы[править | править исходный текст]

Подмножество

G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента m\in M.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если n\,\sim_{_G}\,m, то найдется такой элемент g\in G, что

G_m=gG_ng^{-1}.

Количество элементов в орбите[править | править исходный текст]

|Gm|=[G:G_m], G_m — стабилизатор элемента m и [G:G_m]индекс подгруппы G_m\subset G, в случае конечных групп равен \frac{|G|}{|G_m|}.

Если M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k, то

|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

  1. \forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;
  2. \sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;
  3. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий[править | править исходный текст]

Действия на себе[править | править исходный текст]

Слева[править | править исходный текст]

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M=G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (\Phi(g))(h)=gh.

Справа[править | править исходный текст]

Аналогично определяется действие на себе справа, (\Phi(g))(h)=hg^{-1}.

Слева и справа[править | править исходный текст]

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения G\times G на M=G с гомоморфизмом \Phi:G\times G\to S(G) заданым как (\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}.

Сопряжениями[править | править исходный текст]

Пусть M=G и гомоморфизм \Phi:G\to S(G) задан как (\Phi(g))(h)=ghg^{-1}. При этом для каждого элемента h\in G стабилизатор G_h совпадает с централизатором C(h):

G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Например, для элемента h из центра группы G (то есть h\in Z(G)) имеем C(h)=G и G_h=G.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607.
  • Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.