Декартов квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, декартов квадрат морфизмов f\colon X\to Z и g\colon Y\to Z — это предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: X\to Z \leftarrow Y. Также называется расслоенным произведением. Декартов квадрат часто обозначают  P = X \times_Z Y.\, .

Универсальное свойство[править | править исходный текст]

Более явно, декартов квадрат двух морфизмов f и g — это объект P вместе с морфизмами p_1, p_2, для которого следующая диаграмма коммутативна:

CategoricalPullback-03.png

Более того, декартов квадрат должен быть универсальным объектом с таким свойством: для любого другого объекта Q, замыкающего диаграмму до коммутативной, существует единственный морфизм u\colon Q \to P, такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

CategoricalPullback-02.png

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, декартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определён с точностью до изоморфизма.

Примеры[править | править исходный текст]

В категории множеств декартов квадрат f и g — это множество

X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\},\,

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется декартов квадрат в категории коммутативных колец.

Также декартов квадрат в Set можно описывать двумя асимметричными способами:

X\times_Z Y

\cong
\coprod_{x\in X} g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong
\coprod_{y\in Y} f^{-1}[\{g(y)\}]

где \coprod — дизъюнктное объединение множеств.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  • С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).