Декартов квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Декартов квадрат (расслоённое произведение, универсальный квадрат, коамальгама, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: X\to Z \leftarrow Y. Декартов квадрат часто обозначают  P = X \times_Z Y.

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойство[править | править вики-текст]

Формально, декартов квадрат двух морфизмов f и g — это объект P вместе с морфизмами p_1, p_2, для которого следующая диаграмма коммутативна:

CategoricalPullback-03.png

Более того, декартов квадрат должен быть универсальным объектом с таким свойством: для любого другого объекта Q, замыкающего диаграмму до коммутативной, существует единственный морфизм u\colon Q \to P, такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

CategoricalPullback-02.png

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, декартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определён с точностью до изоморфизма.

Примеры[править | править вики-текст]

В категории множеств декартов квадрат f и g — это множество:

X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\}

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется декартов квадрат в категории коммутативных колец.

Также декартов квадрат в \mathbf{Set} можно описывать двумя асимметричными способами:

X\times_Z Y

\cong
\coprod_{x\in X} g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong
\coprod_{y\in Y} f^{-1}[\{g(y)\}]
,

где \coprod — дизъюнктное объединение множеств.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4