Декартов лист

Декартов лист

Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе $x^3 + y^3 = 3axy$. Параметр $3a$ определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где $x$ и $y$ принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

• В прямоугольной системе по определению:

$\textstyle x^3 + y^3 = 3axy$

• В полярной системе:

$\rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}$.

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

$\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}$, где $t=\operatorname{tg}\varphi$.

Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на $135^\circ$ кривую. Её уравнения выглядят так:

• В прямоугольной системе:

$y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

• Параметрическое:

$x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$

• В полярных координатах:

$\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$

Вывод уравнений повёрнутой кривой

Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол $\alpha=\frac{\pi}{4}$ и переориентацией оси OX в противоположном направлении: $\begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -u \\ v \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{vmatrix} \,\!$ Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: $\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha$ $\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha$, или $\textstyle x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}}$ $\textstyle y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}}$, После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: $v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}}$. Вводим параметр $l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$, последнее уравнение перепишется так: $v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u}$ или $v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}}$. Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: $y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}$ Подставив в уравнение предыдущее $x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi$, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: $\rho \sin \varphi= \rho \cos \varphi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \varphi}{t - 3 \rho \cos \varphi}}$. Решая данное выражение относительно $\rho$, получаем: $\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$.

Свойства

• Прямая $OA$ — ось симметрии, её уравнение: $y = x$.
• Точка A называется вершиной, её координаты $\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)$.

• Для обеих ветвей существует асимптота $UV$, её уравнение: $x+y+a=0$.

Вывод уравнения асимптоты

Для повёрнутого декартового листа: При $y=0$ имеем $x=0$ или $\textstyle\sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}= 0$, Рассматриваем второй случай: $l+x=0$, то есть, $x=-l$, то есть $\textstyle x =-\frac{3a}{\sqrt{2}}$, значит $\textstyle OA = \frac{3a}{\sqrt{2}}$. Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: $l-3x=0$, следовательно, $\textstyle x=\frac{l}{3}=\frac{a}{\sqrt{2}}$. После поворота осей на $-135^\circ$ получаем окончательное уравнение $x+y+a=0$

• Площадь области между дугами $ACO$ и $ABO$ $\textstyle S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}a^2$

Нахождение площади $S_1$

Площадь $S_1$, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: $\frac{1}{2}S_1=-\int\limits_{-l}^{0} x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}\,dx$, где $l = \frac{3a}{\sqrt{2}}$. Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: $u = l - 3x,\ l + x = \frac{4}{3}l-\frac{1}{3}u,\ dx =-\frac{1}{3}du$. Пределы интегрирования: $x = -l \Rightarrow\; u = 4l, \qquad x = 0 \Rightarrow\; u = l$ Интеграл преобразуется к виду: $\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \left(l - u \right) \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ или $\frac{1}{2}S_1 = \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^ {l} u \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$ Первый интеграл из этого уравнения: $\frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} l \sqrt{ \frac{4l - u}{u}}\,du$. Подстановка: $u = v^2, \qquad du = 2vdv$. Пределы интегрирования: $u = 4l \Rightarrow\; v = 2 \sqrt{l}, \qquad u = l \Rightarrow\; v = \sqrt{l}$. Интеграл преобразуется к виду: $\frac{2l}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{2 \sqrt{l}}^{ \sqrt{l}} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{l} \right)^2 - v^2}\,dv=$ $= \frac{2l}{ \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left( 2 \sqrt{t} \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2 \sqrt{l} \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2 \sqrt{l}} \right) \right] \Bigg|^\sqrt{l}_{2\sqrt{l}} = \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right]$. Второй интеграл: $- \frac{1}{9 \sqrt{3}} \int\limits_{4l}^{l} \sqrt{4tu^2 - u^2}\,du$ Подстановка: $u = v + 2l, \qquad du = dv$. Пределы интегрирования: $u = 4l \Rightarrow\; v = 2t, \qquad u = l \Rightarrow\; v = -l$. Интеграл преобразуется к виду: $- \frac{1}{9\sqrt{3}} \int\limits_{2l}^{-l} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2}\,dv =$ $= - \frac{1}{9 \sqrt{3}} \left[ \frac{v}{2} \sqrt{ \left(2l \right)^2 - v^2} + \frac{ \left(2l \right)^2}{2} \arcsin \left( \frac{v}{2l} \right) \right] \Bigg|^{-l}_{2l}=\frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \frac {\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{3} \pi \right]$. Итак: $\frac {1}{2}S_1 = \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \sqrt{3} - \frac{4}{3} \pi \right] + \frac{l^2} {9 \sqrt{3}} \left[ \frac {\sqrt{3}}{2} + \frac{4}{3} \pi \right]$. Площадь $S_1$ равна $S_1 = \frac {l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2$.

• Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли $\textstyle S_2=S_1=\frac{3}{2}a^2$.

Нахождение площади $S_2$

Площадь $S_2$, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь $S_1$; интеграл берётся в пределах от 0 до $\textstyle\frac{l}{3}$. $\frac{1}{2}S_2 = \int\limits_{0}^{ \frac{l}{3}} x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}\,dx$ Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. $S_2 = \frac {l^2}{3} = \frac{3}{2}a^2$, то есть, площади $S_1$ и $S_2$ равны между собой.

• Объём тела, образованного при вращении дуги $ACO$ вокруг оси абсцисс $\textstyle V_1=\frac{\pi l^3}{27} \left(\ln{4}-1\right)$

Нахождение объёма вращения

Объём ($V_1$) тела, образованного при вращении дуги $ACO$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: $V_1 = \pi \int\limits_{-l}^{0} x^2 \frac{l + x}{l - 3x}\,dx =$ $= - \frac{ \pi}{3} \int\limits_{-l}^{0} x^2\,dx - \frac{4 \pi l}{9} \int\limits_{-l}^{0} x\,dx - \frac{4 \pi l^2}{27} \int\limits_{-l}^{0}\,dx + \frac{4 \pi l^3}{27} \int\limits_{-l}^{0} \frac{dx}{l - 3x}\,=$ $= \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)$. Итак: $V_1 = \frac{ \pi l^3}{27} \left( \ln{4} - 1 \right)$. Объём ($V_2$) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от $0$ до $\frac{t}{3}$. Этот интеграл равен бесконечности, то есть $V_2 = \infty$.

Исследование кривой

При $y = 0$ имеем $x = 0$ или $\sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} = 0$, или $l + x = 0 \Rightarrow x = - l \Rightarrow x = - \frac{3a}{ \sqrt{2}}$, то есть $OA = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$.

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

$l - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{l}{3} = \frac{a}{ \sqrt{2}}$.

Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

$y' = \left( x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} \right)'$

$y' = \frac{2lx}{ \left( l - 3x \right) \left( \sqrt{l - 3x} \sqrt{l + x} \right)} + \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}$.

Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: $x = - \frac{l}{ \sqrt{3}}$. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге $ACO$ — точка $C$ и минимум на нижней дуге $ABO$ — точка $B$. Значение функции в этих точках равно:

$y \left(- \frac{l}{ \sqrt{3}} \right) = \pm \frac{l}{ \sqrt{3}} \sqrt{ \frac{3 - \sqrt{3}}{ \sqrt{3} + 1}}$.

Значение производной y’ в точке $O$ равно $\pm 1$, то есть касательные в точке $O$ взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом $\pm \frac{ \pi}{4}$.

Ссылки

• Д. К. Бобылёв Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.