Декартов лист

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Декартов лист

Декартов листплоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x^3 + y^3 = 3axy. Параметр  3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

История[править | править вики-текст]

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения[править | править вики-текст]

\textstyle x^3 + y^3 = 3axy
 \rho = \frac {3a\cos\varphi\sin\varphi} {\cos^3\varphi+\sin^3\varphi}.
  • Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3at^2}{1+t^3}\end{cases}, где t=\operatorname{tg}\varphi.
Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на 135^\circ кривую. Её уравнения выглядят так:

  • В прямоугольной системе:
y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}, где l=\frac{3a}{\sqrt{2}}
  • Параметрическое:
x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}
  • В полярных координатах:
 \rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}

Свойства[править | править вики-текст]

  • Прямая OA — ось симметрии, её уравнение:  y = x .
  • Точка A называется вершиной, её координаты \left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right).
  • Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x+y+a=0.
  • Площадь области между дугами ACO и ABO \textstyle S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}a^2
  • Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли \textstyle S_2=S_1=\frac{3}{2}a^2.
  • Объём тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс \textstyle V_1=\frac{\pi l^3}{27} \left(\ln{4}-1\right)

Исследование кривой[править | править вики-текст]

При  y = 0 имеем  x = 0 или  \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} = 0, или  l + x = 0 \Rightarrow x = - l \Rightarrow x = - \frac{3a}{ \sqrt{2}}, то есть  OA = \frac{3a}{ \sqrt{2}}.

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

 l - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{l}{3} = \frac{a}{ \sqrt{2}}.

Производная[править | править вики-текст]

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

 y' = \left( x \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}} \right)'
 y' = \frac{2lx}{ \left( l - 3x \right) \left( \sqrt{l - 3x} \sqrt{l + x} \right)} + \sqrt{ \frac{l + x}{l - 3x}}.

Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим:  x = - \frac{l}{ \sqrt{3}} . При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге ACO — точка C и минимум на нижней дуге ABO — точка B. Значение функции в этих точках равно:

 y \left(- \frac{l}{ \sqrt{3}} \right) = \pm \frac{l}{ \sqrt{3}} \sqrt{ \frac{3 - \sqrt{3}}{ \sqrt{3} + 1}}.

Значение производной y’ в точке O равно  \pm 1, то есть касательные в точке O взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом  \pm \frac{ \pi}{4}.

Ссылки[править | править вики-текст]