Дельта-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Схематический график одномерной дельта-функции.

Де́льта-фу́нкция (или δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы m, находящейся в точке a для примера, одномерного евклидова пространства \R^1, записывается с помощью \delta-функции в виде m\delta(x-a). Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

\delta-Функция не является функцией в классическом смысле, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Можно ввести производную для δ-функции, которая тоже будет обобщённой функцией, и интеграл, определяемый как функция Хевисайда. Нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к \delta-функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.

Введена английским физиком Полем Дираком.

Определения[править | править исходный текст]

Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, вообще говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности (\R^n,\ n>1).

Простое определение[править | править исходный текст]

Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно определить как функцию \delta(x), удовлетворяющую следующим условиям:

  • \delta(x)=\left\{\begin{matrix}
   +\infty, & x=0, \\
   0, & x\ne 0; \\
\end{matrix}\right.
  • \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.

То есть эта функция не равна нулю только в точке x=0, где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности x=0 был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Для понимания интеграла полезно представить себе некую фигуру на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшать основание данного треугольника и увеличивать высоту так, чтобы площадь была неизменной, то в предельном случае мы получим треугольник с малым основанием и очень большой высотой. По предположению его площадь равна единице, что и показывает интеграл. Вместо треугольника можно без ограничения общности использовать любую фигуру. Аналогичные условия верны и для дельта-функций, определённых на \mathbb{R}^n.

Эти равенства не принято считать определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для точного определения дельта-функции. Отметим, что из данного определения дельта-функции вытекает следующее равенство

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-y)f(x)\,dx=f(y)

(фильтрующее свойство) для любой функции f. Действительно, в силу свойства \delta(x-y)=0 при x\ne y значение этого интеграла не изменится, если функцию f(x) заменить функцией \tilde{f}(x), которая равна f(x) в точке x=y, а в остальных точках имеет произвольные значения. Например, берём \tilde{f}(x)=f(y)=\operatorname {const}, затем выносим f(y) за знак интеграла и, используя второе условие в определении дельта-функции, получаем нужное равенство.

Производные от дельта-функции также почти всюду равны 0 и обращаются в \pm\infty при x=0.

Классическое определение[править | править исходный текст]

Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором функциональном пространстве (пространстве основных функций). В зависимости от цели и желаемых свойств, это может быть пространство функций с компактным носителем, пространство функций, быстро убывающих на бесконечности, гладких функций на многообразии, аналитических функций и т. д. Для того, чтобы были определены производные дельта-функции с хорошими свойствами, во всех случаях основные функции берутся бесконечно дифференцируемыми, пространство основных функций также должно быть полным метрическим пространством. Общий подход к обобщённым функциям см. в соответствующей статье. Такие обобщённые функции также называют распределениями.

Мы рассмотрим самый простой вариант. В качестве пространства основных функций рассмотрим пространство \mathcal{E} всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Последовательность \varphi_n\in\mathcal{E} сходится к \varphi\in\mathcal{E}, если на любом компакте K\in\R функции \varphi_n сходятся к \varphi равномерно вместе со всеми своими производными:

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)}(x)\right|\xrightarrow{n\to\infty}\,0.

Это локально выпуклое метризуемое пространство. Дельта-функцию определим как функционал \delta\in\mathcal{E}^\prime, такой что

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Непрерывность означает, что если \varphi_n\to\varphi, то \lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang. Здесь \lang\delta;\;\varphi\rang — значение функционала на функции \varphi. Для удобства это записывают как

\lang\delta;\;\varphi\rang=\int_{-\infty}^\infty\delta(x)\varphi(x)\,dx.

Заметим, что при таком подходе интегральная запись есть не больше, чем формальное обозначение, облегчающее восприятие формул.

Дельта-функция по Коломбо[править | править исходный текст]

Используемому для работы с дельта-функцией интегральному выражению можно придать смысл, близкий к интуитивному, в рамках теории алгебры обобщённых функций Коломбо[1].

Пусть \mathcal{D} — множество бесконечно дифференцируемых функций f\colon\R\to\R с компактным носителем, то есть не равных нулю лишь на ограниченном множестве. Рассмотрим множество функций

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x)\,dx=0\right\}.

Обобщённая функция — это класс эквивалентности функций R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R, R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x), бесконечно дифференцируемых по x при каждом \varphi\in\mathcal{A} и удовлетворяющих некоторому условию умеренности (полагая \varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}), R(\varphi_\varepsilon,\;x) и все её производные по x достаточно медленно растут при \varepsilon\to 0). Две функции полагаются эквивалентными, если R_1-R_2\in\mathcal{N}, где \mathcal{N} — ещё один класс функций с ограничениями на рост R(\varphi_\varepsilon,\;x) при \varepsilon\to 0.

Дельта-функция определяется как \delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x). Преимущество подхода Коломбо в том, что его обобщённые функции образуют коммутативную ассоциативную алгебру, при этом на множество обобщённых функций естественно продолжаются понятия интегрирования, дифференцирования, пределов, даже значения в точке. В этом смысле на дельта-функцию действительно можно смотреть как на функцию, равную 0 везде, кроме точки 0, и равную бесконечности в нуле, так как теория Коломбо включает в себя теорию бесконечно больших и бесконечно малых чисел, аналогично нестандартному анализу.

Подход Егорова[править | править исходный текст]

Аналогичная теория обобщённых функций была изложена в работе Ю. В. Егорова[2]. Хотя она не эквивалентна теории Коломбо, конструкция значительно проще и обладает большинством желаемых свойств.

Обобщённая функция — это класс эквивалентности последовательностей f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R). Последовательности f и \tilde f считаются эквивалентными, если для любого компакта \Omega\Subset\R функции последовательностей совпадают на \Omega начиная с некоторого номера:

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Subset\R\ \exists N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Всевозможные операции над последовательностями (умножение, сложение, интегрирование, дифференцирование, композиция, …) определяются покомпонентно. Например, интеграл по множеству I определяется как класс эквивалентности последовательности

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Две обобщённые функции слабо равны, если для любой бесконечно гладкой функции \varphi

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

При этом дельта-функция определяется любой дельта-образной последовательностью (см. ниже), все такие обобщённые функции слабо равны.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида (-a_1,\;a_2), где a_1 и a_2 — произвольные действительные положительные числа, равен 1.
  • x\delta^\prime(x)=-\delta(x).
  • \delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}, где x_k — простые нули функции f(x).
Функция Хевисайда.
\theta(x)=\left\{\begin{array}{*{35}{l}}
   0, & x<0, \\
   \dfrac{1}{2}, & x=0, \\
   1, & x>0. \\
\end{array}\right.
  • Фильтрующее свойство дельта-функции:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

δ-Функция как слабый предел[править | править исходный текст]

Пусть \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.

Тогда последовательность

f_n(x)=nf(nx)

слабо сходится к \delta-функции.

График функции \frac{\sin x}{x}.

Часто в качестве ~f(x) выбирают

f(x)=\frac{\sin x}{\pi x},

дающую последовательность

f_n(x)=n\frac{\sin(nx)}{n\pi x}.

Если нужно, чтобы члены последовательности были всюду положительными функциями, можно исходить из Гауссова колокола:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},
f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Интегральное представление[править | править исходный текст]

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Производная дельта-функции[править | править исходный текст]

По определению производной дельта-функции \delta(x):

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\,dx=-f^\prime(a)

(распространение интегрирования по частям на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию).

Аналогично для n-й производной дельта-функции:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(x-a)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x-a)\,dx.

А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(x-a)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^n f(x)}{\partial x^n}\right|_{x=a}.


Для производной дельта-функции имеет место тождество:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

которое можно получить дифференцируя произведение f(x)\delta(x).

Преобразование Фурье[править | править исходный текст]

  • В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.
  • Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Таким образом, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в точке t_0, является „волной“ в пространстве частот, обладающей „периодом“ \frac{2\pi}{t_0}. В частности, спектр (Фурье-образ) дельта-функции, центрированной в нуле, является константой (нестрого говоря — „волной“ с бесконечно большим „периодом“):

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}.

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат[править | править исходный текст]

В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^n x=1;
\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

В двумерном пространстве:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;
\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);
\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

В полярных координатах:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|} — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0),
\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|} — с особенностью в точке общего положения (r_0,\;\varphi_0); при r=0 доопределяется нулём.

В трехмёрном пространстве:

\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;
\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

В цилиндрической системе координат:

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r} — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0,\;z=0),
\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|} — с особенностью в точке общего положения (r_0,\;\varphi_0,\;z_0); при r=0 доопределяется нулём.

В сферической системе координат:

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2} — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r=0).

Физическая интерпретация[править | править исходный текст]

Вблизи заряженной точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Мгновенное ускорение[править | править исходный текст]

Пусть частица, движущаяся вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретает какую-то скорость. Зададимся вопросом: как рассчитать ускорение, приобретённое телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Hevisaidstep.JPG

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Dirac-edenichnaja.jpg

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Масса материальной точки[править | править исходный текст]

Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда) m=\int\rho_\mathrm{contin}, содержащего, кроме того, точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность:

m=\int\rho_\mathrm{contin}(\mathbf{x})\,dV+\sum_i q_i

записывать просто:

m=\int\rho(\mathbf{x})\,dV,

имея в виду, что \rho(\mathbf{x}) имеет как непрерывную, так и дельтообразные (по одной для каждой точечной массы) составляющие:

\rho(\mathbf{x})=\rho_\mathrm{contin}(\mathbf{x})+\sum_i q_i\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i).

Другие примеры[править | править исходный текст]

  • Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе (\hbar\rightarrow 0) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтообразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.
  • Преобразование Фурье синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.
  • Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представлениях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.
  • Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M, уравнение, определяющее функцию Грина g с источником в точке x_0, имеет вид
L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).
Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как Оператор Д’Аламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).
\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),
где r — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала
\Phi(\mathbf{x})=-\int\frac{\varrho(\mathbf{x}^\prime)}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime\right|}\,d^3x^\prime
удовлетворяет уравнению Пуассона:
\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Colombeau J. F. Elementary Introduction to New Generalized Functions. — Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1985. — 281 с. — ISBN 978-0-444-87756-7
  2. Егоров Ю. В. К теории обобщённых функций // УМН. — 1990. — В. 5 (275). — Т. 45. — С. 3—40.

Литература[править | править исходный текст]

  • Дирак П. А. М. Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).
  • Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — Том 2. — ISBN 5-9221-0185-4.
  • Weisstein, Eric W. Delta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных уравнений. — Том 1.
  • Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы в частных производных.
  • Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними.
  • Краснопевцев Е. А. Математические методы физики. Избранные вопросы.