Дельтоида

Дельтоида (кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при $k=3$.

История

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Уравнения

• Неявное уравнение в прямоугольной системе:

$\textstyle (x^2+y^2)^2+18(x^2+y^2) = 8x^3-24y^2x+27$

• Параметрическое:

$\begin{cases} x=2r\cos{t}+r\cos(2t) \\ y=2r\sin{t}-r\sin(2t) \end{cases}$, где $t=\frac{\varphi}{3}$ — треть полярного угла.

Свойства

• Длина пересечения области ограниченной дельтойдой с любой её касательной фиксирвана, и равна $\tfrac43{\cdot R}$, где $R$ — радиус неподвижной окружности.
• Дельтоида — алгебраическая кривая 4 порядка.
• Длина кривой $\textstyle L=\frac{16}{3}R$, где $R$ — радиус неподвижной окружности.
• Площадь, ограничиваемая дельтоидой, $\textstyle S=\frac{2}{9}\pi R^2$.

См. также

• Астроида — гипоциклоида при $k=4$.

Ссылки

• Дельтоида в журнале Квант.
• Wolfram MathWorld.