Дельтоида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Дельтоида

Дельтоида (или кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k=3.

История[править | править исходный текст]

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Уравнения[править | править исходный текст]

\textstyle (x^2+y^2)^2+18(x^2+y^2) = 8x^3-24y^2x+27
  • Параметрическое:
\begin{cases}
x=2r\cos{t}+r\cos(2t) \\
y=2r\sin{t}-r\sin(2t)
\end{cases}, где t=\frac{\varphi}{3} — треть полярного угла.

Свойства[править | править исходный текст]

Kakeya needle.gif
  • Длина пересечения области ограниченной дельтойдой с любой её касательной фиксирована, и равна \tfrac43{\cdot R}, где R — радиус неподвижной окружности.
  • Дельтоида — алгебраическая кривая 4 порядка.
  • Длина кривой \textstyle L=\frac{16}{3}R, где R — радиус неподвижной окружности.
  • Площадь, ограничиваемая дельтоидой, \textstyle S=\frac{2}{9}\pi R^2.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]