Десятичная дробь

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots

где

\pm — знак дроби: либо +, либо -,
, — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (российский стандарт)[1],
d_k — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

  • 123,45 (конечная десятичная дробь)
  • Представление числа \pi в виде бесконечной десятичной дроби: 3,1415926535897...

Значением десятичной дроби \pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots является действительное число

\pm \left (d_m \cdot 10^m + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0 + d_{-1} \cdot 10^{-1} + d_{-2} \cdot 10^{-2} + \ldots \right ),

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

\pm d_m \ldots d_1 d_0,

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Соглашения о записи десятичных дробей[править | править вики-текст]

Конечные и бесконечные десятичные дроби[править | править вики-текст]

Конечные дроби[править | править вики-текст]

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n

В соответствии с определением эта дробь представляет число

\pm \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^{-k}

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида p/10^{s}, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида p/10^{s}, где p — целое, а s — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь p/10^{s} привести к несократимому виду, ее знаменатель будет иметь вид 2^{m} 5^{n}. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью p/q знаменатель q не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5.

Бесконечные дроби[править | править вики-текст]

Бесконечная десятичная дробь

\pm a_0, a_{1} a_{2} \ldots

представляет, согласно определению, действительное число

\pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное a_0 и десятичные цифры a_1, a_2, \ldots. Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд мажорируется сходящимся рядом

a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-k}

Представление действительных чисел десятичными дробями[править | править вики-текст]

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

  1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
  2. Единственно ли такое представление?
  3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь[править | править вики-текст]

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу \alpha десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай \alpha \geqslant 0. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок I_0, который содержит точку \alpha; в частном случае, когда точка \alpha является концом двух соседних отрезков, в качестве I_0 выберем правый отрезок.

Числовая прямая, разделенная целочисленными точками.png

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка I_0, через a_0, то можно записать:

I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]

На следующем шаге разделим отрезок I_0 на десять равных частей точками

a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9

и рассмотрим тот из отрезков длины 1/10, на котором лежит точка \alpha; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Построение десятичного представления числа, этап 1.png

Обозначим этот отрезок I_1. Он имеет вид:

I_1 = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10} \, ; \, a_0 + \frac{a_1 + 1}{10} \right ]

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки \alpha.

На очередном шаге, имея отрезок I_{n-1}, содержащий точку \alpha, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок I_{n}, на котором лежит точка \alpha; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков I_0, I_1, \ldots вида

I_n = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \, ; \, a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} + \frac{1}{10^n} \right]

где a_0 — целое неотрицательное, а a_1, a_2, \ldots — целые числа, удовлетворяющие неравенству 0 \leqslant a_k \leqslant 9.

Построенная последовательность отрезков I_0, I_1, \ldots обладает следующими свойствами:

  • Отрезки последовательно вложены друг в друга: I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots
  • Длина отрезков |I_n| = 10^{-n}, \; n = 0, 1, 2, \ldots
  • Точка \alpha принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что I_0, I_1, \ldots есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при n \to \infty, а точка \alpha есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке \alpha (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \to \alpha при n\to \infty

Это значит, что ряд

\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}

сходится к числу \alpha, и таким образом, десятичная дробь

a_0, a_{1} a_{2} \ldots

является представлением числа \alpha. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа \alpha в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

a_0, a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка \alpha совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}

нулевые слагаемые, получим, что число \alpha также может быть представлено конечной десятичной дробью

a_0, a_1 \ldots a_n

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число \alpha может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного \alpha. В случае отрицательного \alpha, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда[править | править вики-текст]

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое a_0, такое, что действительное число \alpha находится между a_0 и следующим целым a_0 + 1:

a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb{Z}

Однако существование такого целого числа a_0 надо еще доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое n, всегда имеет место неравенство n \leqslant \alpha. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа a_0 не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число \alpha, всегда найдётся целое n такое, что n > \alpha. Теперь среди чисел k= 1, \ldots, n возьмём наименьшее, обладающее свойством k > \alpha. Тогда

k - 1 \leqslant \alpha < k

Искомое число найдено: a_0 = k-1.

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности I_0, I_1, I_2, \ldots:

\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число E >0, последовательность натуральных чисел 1, 2, \ldots превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого n имеет место неравенство

10^n > n

то последовательность 10^n также превзойдёт E, начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что \lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty.

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби[править | править вики-текст]

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа \alpha построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число \alpha может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будет получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

0,99\ldots

Согласно определению, эта дробь является представлением числа 0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби 1,00\ldots.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

\pm a_0,a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

и

\pm a_0,a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

где a_n \neq 9, представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученными приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей + 0, 00 \ldots и - 0, 00 \ldots.

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число \alpha, не представимое в виде p/10^s, где p — целое, s — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида \alpha = p/10^s может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если \alpha \neq 0, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на 999 \ldots. Число \alpha = 0 может быть представлено дробями вида +0, 00 \ldots, а также дробями вида -0, 00 \ldots.

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на 999\ldots, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность[править | править вики-текст]

Следует отметить, что, с точки зрения погрешности, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна плюс-минус половине[источник не указан 1194 дня] единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

  • «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 (также, такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
  • «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05;
  • «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005 .

Периодические десятичные дроби[править | править вики-текст]

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace{b_1 \ldots b_l} \underbrace{b_1 \ldots b_l} \ldots

Такую дробь принято кратко записывать в виде

\pm a_0, a_1 \ldots a_m ( b_1 \ldots b_l )

Повторяющаяся группа цифр b_1 \ldots b_l называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь 1,(23) = 1,2323 \ldots является чистой периодической, а дробь 0,1(23)=0,12323 \ldots — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби p/q знаменатель q не имеет простых делителей 2 и 5, а также рациональным числам p/q, у которых знаменатель q имеет только простые делители 2 и 5. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям p/q, знаменатель q которых имеет как простые делители 2 или 5, так и отличные от них.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную[править | править вики-текст]

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь x=0,(1998) с периодом 4. Заметим, что домножив её на 10^4 = 10000, получим большую дробь 10000x=1998,(1998) с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть, получаем[2]: 10000x-1998=x \Rightarrow x=\frac{1998}{9999}=\frac{222}{1111}

Произношение десятичных дробей[править | править вики-текст]

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т. д.).

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.

История[править | править вики-текст]

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[3].

Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше[4]

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Знак запятой «,» — десятичная запятая (англ. decimal comma) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки «.» — десятичная точка (англ. decimal point), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый разделитель групп разрядов, в России для этого используется знак неразрывного пробела «~»). Например, дробь \frac{1~000~000}{3} в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: {333~333,333333}(3), а в английском стандарте так: {~333,333.333333(3)}. Подробнее см. Десятичный разделитель.
  2. Энциклопедия для детей. — М.: Аванта+, 2001. — Т. 11. Математика. — ISBN 5-8483-0015-1., страница 179
  3. Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
  4. Berggren J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.

Ссылки[править | править вики-текст]