Десятичная дробь

Десяти́чная дробь — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления действительных чисел в виде

$\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots$

где

$\pm$ — знак дроби: либо $+$, либо $-$,

$,$ — десятичная запятая, служащая разделителем между целой и дробной частью числа (российский стандарт),

$d_k$ — десятичные цифры. Причём последовательность цифр до запятой (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а после запятой (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.

Примеры:

• $123,45$ (конечная десятичная дробь)
• Представление числа $\pi$ в виде бесконечной десятичной дроби: $3,1415926535897...$

Значением десятичной дроби $\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots$ является действительное число

$\pm \left (d_m \cdot 10^m + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0 + d_{-1} \cdot 10^{-1} + d_{-2} \cdot 10^{-2} + \ldots \right ),$

равное сумме конечного или бесконечного числа слагаемых.

Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид

$\pm d_m \ldots d_1 d_0,$

что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.

Конечные и бесконечные десятичные дроби

Конечные дроби

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид

$\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n$

В соответствии с определением эта дробь представляет число

$\pm \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^{-k}$

Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида $p/10^{s}$, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида $p/10^{s}$, где $p$ — целое, а $s$ — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.

Если обыкновенную дробь $p/10^{s}$ привести к несократимому виду, ее знаменатель будет иметь вид $2^{m} 5^{n}$. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.

Теорема. Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью $p/q$ знаменатель $q$ не имеет простых делителей, отличных от $2$ и $5$.

Бесконечные дроби

Бесконечная десятичная дробь

$\pm a_0, a_{1} a_{2} \ldots$

представляет, согласно определению, действительное число

$\pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}$

Этот ряд сходится, каковы бы ни были целое неотрицательное $a_0$ и десятичные цифры $a_1, a_2, \ldots$. Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд мажорируется сходящимся рядом

$a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-k}$

Представление действительных чисел десятичными дробями

Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:

1. Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
2. Единственно ли такое представление?
3. Каков алгоритм разложения числа в десятичную дробь?

Эти вопросы освещаются ниже.

Алгоритм разложения числа в десятичную дробь

Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу $\alpha$ десятичной дроби, которая является его представлением.

Рассмотрим вначале случай $\alpha \geqslant 0$. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок $I_0$, который содержит точку $\alpha$; в частном случае, когда точка $\alpha$ является концом двух соседних отрезков, в качестве $I_0$ выберем правый отрезок.

Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка $I_0$, через $a_0$, то можно записать:

$I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]$

На следующем шаге разделим отрезок $I_0$ на десять равных частей точками

$a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9$

и рассмотрим тот из отрезков длины $1/10$, на котором лежит точка $\alpha$; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем правый.

Обозначим этот отрезок $I_1$. Он имеет вид:

$I_1 = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10} \, ; \, a_0 + \frac{a_1 + 1}{10} \right ]$

Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки $\alpha$.

На очередном шаге, имея отрезок $I_{n-1}$, содержащий точку $\alpha$, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок $I_{n}$, на котором лежит точка $\alpha$; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем правый.

Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков $I_0, I_1, \ldots$ вида

$I_n = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \, ; \, a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} + \frac{1}{10^n} \right]$

где $a_0$ — целое неотрицательное, а $a_1, a_2, \ldots$ — целые числа, удовлетворяющие неравенству $0 \leqslant a_k \leqslant 9$.

Построенная последовательность отрезков $I_0, I_1, \ldots$ обладает следующими свойствами:

• Отрезки последовательно вложены друг в друга: $I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots$
• Длина отрезков $|I_n| = 10^{-n}, \; n = 0, 1, 2, \ldots$
• Точка $\alpha$ принадлежит всем отрезкам последовательности

Из этих условий следует, что $I_0, I_1, \ldots$ есть система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при $n \to \infty$, а точка $\alpha$ есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке $\alpha$ (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть

$a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \to \alpha$ при $n\to \infty$

Это значит, что ряд

$\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}$

сходится к числу $\alpha$, и таким образом, десятичная дробь

$a_0, a_{1} a_{2} \ldots$

является представлением числа $\alpha$. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа $\alpha$ в десятичную дробь.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид

$a_0, a_1 \ldots a_n 000 \ldots$

Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка $\alpha$ совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме

$\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}$

нулевые слагаемые, получим, что число $\alpha$ также может быть представлено конечной десятичной дробью

$a_0, a_1 \ldots a_n$

Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число $\alpha$ может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).

Тем самым рассмотрен случай неотрицательного $\alpha$. В случае отрицательного $\alpha$, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему положительного числа, взятое со знаком «минус».

Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая

Теорема. Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.

О роли аксиомы Архимеда

Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое аксиомой Архимеда.

Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое $a_0$, такое, что действительное число $\alpha$ находится между $a_0$ и следующим целым $a_0 + 1$:

$a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb{Z}$

Однако существование такого целого числа $a_0$ надо еще доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое $n$, всегда имеет место неравенство $n \leqslant \alpha$. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа $a_0$ не нашлось бы.

Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число $\alpha$, всегда найдётся целое $n$ такое, что $n > \alpha$. Теперь среди чисел $k= 1, \ldots, n$ возьмём наименьшее, обладающее свойством $k > \alpha$. Тогда

$k - 1 \leqslant \alpha < k$

Искомое число найдено: $a_0 = k-1$.

Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности $I_0, I_1, I_2, \ldots$:

$\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0$

Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение

$\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty$

В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число $E >0$, последовательность натуральных чисел $1, 2, \ldots$ превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого $n$ имеет место неравенство

$10^n > n$

то последовательность $10^n$ также превзойдёт $E$, начиная с того же номера. В соответствии с определением предела числовой последовательности, это означает, что $\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty$.

Неоднозначность представления в виде десятичной дроби

См. также: 0,(9)

С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа $\alpha$ построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число $\alpha$ может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.

Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будет получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.

Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.

Рассмотрим например, десятичную дробь

$0,99\ldots$

Согласно определению, эта дробь является представлением числа $0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1$. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби $1,00\ldots$.

Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби

$\pm a_0,a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots$

и

$\pm a_0,a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000$

где $a_n \neq 9$, представляют одно и то же действительное число.

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученными приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей $+ 0, 00 \ldots$ и $- 0, 00 \ldots$.

Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.

Теорема. Всякое действительное число $\alpha$, не представимое в виде $p/10^s$, где $p$ — целое, $s$ — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.

Всякое действительное число вида $\alpha = p/10^s$ может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если $\alpha \neq 0$, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на $999 \ldots$. Число $\alpha = 0$ может быть представлено дробями вида $+0, 00 \ldots$, а также дробями вида $-0, 00 \ldots$.

Замечание. Бесконечные дроби, оканчивающиеся на $999\ldots$, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать левый отрезок вместо правого.

Лишние нули и погрешность

Следует отметить, что, с точки зрения погрешности, запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность равна плюс-минус половина единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Другие примеры:

• «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 ;
• «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05
• «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005 .

Периодические десятичные дроби

Бесконечная десятичная дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид

$\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace{b_1 \ldots b_l} \underbrace{b_1 \ldots b_l} \ldots$

Такую дробь принято кратко записывать в виде

$\pm a_0, a_1 \ldots a_m ( b_1 \ldots b_l )$

Повторяющаяся группа цифр $b_1 \ldots b_l$ называется периодом дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.

Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется смешанной периодической, а группа цифр после запятой до первого знака периода — предпериодом дроби. Например, дробь $1,(23) = 1,2323 \ldots$ является чистой периодической, а дробь $0,1(23)=0,12323 \ldots$ — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее предложение.

Теорема. Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.

Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби $p/q$ знаменатель $q$ не имеет простых делителей $2$ и $5$, а также рациональным числам $p/q$, у которых знаменатель $q$ имеет только простые делители $2$ и $5$. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям $p/q$, знаменатель $q$ которых имеет как простые делители $2$ или $5$, так и отличные от них.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную

Предположим, что дана периодическая десятичная дробь $x=0,(1998)$ с периодом 4. Заметим, что домножив её на $10^4 = 10000$, получим большую дробь $10000x=1998,(1998)$ с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть, получаем: $10000x-1998=x \Rightarrow x=\frac{1998}{9999}=\frac{222}{1111}$

Произношение десятичных дробей

В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» («целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т. д.).

Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и», дробная часть.

История

Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную.

Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на 5 веков раньше

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).

См. также

• Обыкновенная дробь
• Десятичная система счисления
• Десятичный разделитель

Ссылки

• ЕГЭ математика. Периодическая дробь
• Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»
• Семёнова Л. Периодические дроби.