Диаграмма Вороного

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Диаграмма Вороного случайного множества точек на плоскости

Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором каждая область этого разбиения образует множество точек, более близких к одному из элементов множества S, чем к любому другому элементу множества[1].

Названа в честь российского учёного украинского происхождения Георгия Феодосьевича Вороного (Полтавская губерния, 1868 г. - 1908 г., г.Варшава). Также известна как: мозаика Вороного, разбиение Вороного, разбиение Дирихле.

История[править | править вики-текст]

Впервые применение подобных конструкций приписывают Декарту в 1644 году. Дирихле использовал двумерные и трехмерные диаграммы Вороного в своём труде о квадратичных формах в 1850.

Свойства[править | править вики-текст]

Имеет тесную связь и взаимооднозначное соответствие с триангуляцией Делоне. А именно, если соединить рёбрами точки, области Вороного которых граничат друг с другом, полученный граф будет являться триангуляцией Делоне.

Алгоритмы построения[править | править вики-текст]

Построение диаграммы алгоритмом Форчуна.

Простой алгоритм[править | править вики-текст]

Рассмотрим серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего некоторую пару точек p и q. Этот перпендикуляр разбивает плоскость на две полуплоскости H_{pq} и H_{qp}, причём область Вороного точки p целиком содержится в одной из них, а область точки q — в другой. Область Вороного V_p точки p совпадает с пересечением всех таких полуплоскостей H_{pq}:

V_p = \cap_{q \in S / \{p\}} H_{pq}.

Таким образом, решение задачи сводится к вычислению такого пересечения для каждой точки p. Алгоритм может быть реализован с вычислительной сложностью O(n^2\log n).

Алгоритм Форчуна[править | править вики-текст]

Алгоритм основан на применении заметающей прямой. Заметающая прямая — это вспомогательный объект, представляющий собой вертикальную прямую линию. На каждом шаге алгоритма диаграмма Вороного построена для множества, состоящего из заметающей прямой и точек слева от неё. При этом граница между областью Вороного прямой и областями точек состоит из отрезков парабол (так как геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки и прямой — это парабола). Прямая движется слева направо. Каждый раз, когда она проходит через очередную точку, эта точка добавляется к уже построенному участку диаграммы. Добавление точки к диаграмме при использовании двоичного дерева поиска имеет сложность O(\log n), всего точек n, а сортировка точек по x-координате может быть выполнена за O(n \log n), поэтому вычислительная сложность алгоритма Форчуна равна O(n \log n).

Рекурсивный алгоритм[править | править вики-текст]

Основная идея рекурсивного алгоритма заключается в использовании метода динамического программирования. Исходное множество точек S разбивается на два подмножества S_1 и S_2, для каждого из них строится диаграмма Вороного, а затем полученные диаграммы объединяются в одну. Разбиение множества S осуществляется при помощи прямой, разделяющей плоскость на две полуплоскости, так, чтобы в обеих полуплоскостях находилось примерно одинаковое количество точек. Объединение диаграмм Вороного множеств S_1 и S_2 может быть выполнено за время O(n), поэтому вычислительная сложность алгоритма равна O(n \log n).

Обобщения[править | править вики-текст]

Диаграмму Вороного очевидным образом можно определить для множества точек в произвольном евклидовом пространстве, необязательно двумерном. Имеет место следующее утверждение: в k-мерном пространстве количество симплексов k-мерной триангуляции Делоне множества из n точек может достигать O(n^{\lceil \frac k 2 \rceil}). Следовательно, такой же порядок имеют расходы памяти, требуемой для хранения двойственной диаграммы Вороного.

Диаграмма Вороного может быть определена для пространства с метрикой, отличной от евклидовой. Однако в этом случае, границы между соседними областями Вороного могут не быть многообразиями первого порядка (например, при использовании манхэттенского расстояния).

Множество S может состоять не только из точек, но и из любых объектов, для которых определено расстояние до произвольной точки плоскости. В этом случае элементы множества S называют сайтами. В качестве примера можно привести диаграмму Вороного многоугольника, где сайты - это вершины и рёбра многоугольника. Такие диаграммы используются для построения срединных осей и широко применяются в задачах анализа изображений. Граница областей диаграммы Вороного многоугольника представляет собой объединение отрезков прямых и парабол.

Применение[править | править вики-текст]

Разбиение Вороного применяется в вычислительном материаловедении для создания синтетических поликристаллических агрегатов. Также используется в компьютерной графике для случайного разбиения поверхностей.

Метод Гольда (или «метод похищения площади») — метод интерполяции функции в 2D, применяемый, например, в геодезии. Строится диаграмма Вороного всех точек, после этого к ней добавляется искомая точка. Новая ячейка «отбирает» площадь у имеющихся; чем больше площади позаимствовано у (xi, yi, zi), тем больше коэффициент при этой точке.

Также разбиение Вороного применяется при нахождении верхней оценки хроматического числа для евклидова пространства (проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера) размерности 2 или 3. Здесь рассматривают разбиение плоскости на многоугольники Вороного для заданной решётки. Наилучшая оценка была найдена, как для 2-мерного, так и для 3-мерного пространств, при рассмотрении симметричного разбиения. Например, замощение плоскости шестиугольниками (в данном случае шестиугольник - многоугольник Вороного).

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  1. Ф. Препарата, М. Шеймос. Вычислительная геометрия: Введение. — М.: Мир, 1989. Стр. 295