Диада

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, тензорное произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

\ A_{ij} = a_i b_{j},

В бескоординатной форме

 \mathbf{A} = \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} , либо просто \mathbf{a b}

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

\begin{bmatrix}
0 & \dots & a_1 & \dots & 0 \\ 
0 & \dots & a_2 & \dots & 0 \\ 
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 
0 & \dots & a_n & \dots & 0
\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \dots \\ a_n \end{bmatrix} \otimes 
\begin{bmatrix} 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \end{bmatrix}

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады[править | править вики-текст]

Например, рассмотрим пару векторов

 \mathbf{A} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j}

и

 \mathbf{B} = c \mathbf{i} + d \mathbf{j}.

Тогда тензорное произведение A и B равно

 \mathbf{A\otimes B} = a c \mathbf{i\otimes i} + a d \mathbf{i\otimes j} + b c \mathbf{j\otimes i} + b d \mathbf{j\otimes j} .

Оператор вращения[править | править вики-текст]

Двухвалентный тензор

\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j} -

это оператор вращения плоскости на 90°. Он действует слева от вектора и производит вращение:

 (\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j}) \cdot (x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) =
x \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{i)} - x \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{i)} + y \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{j)} - y \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{j)} = 
-y \mathbf{i} + x \mathbf{j}.

Использование диад[править | править вики-текст]

В физике[править | править вики-текст]

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

Литература[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «диада»
  • Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М.: Наука, 1965. — 424 с. с.
  • Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. с.