Дигамма-функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике дига́мма-фу́нкция {\textstyle{\psi(x)}} определяется как логарифмическая производная гамма-функции:

\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)} = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

Она является полигамма-функцией первого порядка, а полигамма-функции высших порядков (тригамма-функция и т.д.) получаются из неё дифференцированием.

Свойства[править | править вики-текст]

где {\textstyle{H_n}} — n-е гармоническое число, а {\textstyle{\gamma}}постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Формула дополнения
     \displaystyle{\psi(1-x) - \psi(x) = \pi \cot(\pi x)}
  • Рекуррентное соотношение
     \psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}
  • Разложение в бесконечную сумму
     \psi(x) = \ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}
где  \zeta(x)  — дзета-функция Римана.
  • Логарифмическое разложение
     \psi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\ln(x+k)
  • Теорема Гаусса
     \frac{\Gamma'(p/q)}{\Gamma(p/q)} = -\gamma - \ln(2q) - \frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{\pi p}{q}\right) + 2 \sum_{0<n<q/2}\cos\left(\frac{2\pi p n}{q}\right)\ln\left(\sin\left(\frac{\pi n}{q}\right)\right)
при целых  p, q с условием  0 < p < q .
  • Для всех z \neq -1, -2, -3, \ldots справедливо разложения в ряд:
    \psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)}.

Ссылки[править | править вики-текст]