Дилогарифм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Действительная и мнимая части функции \mathrm{Li}_2(x)

Дилогари́фмспециальная функция в математике, которая обозначается \mathrm{Li}_2(z) и является частным случаем (n=2) полилогарифма \mathrm{Li}_n(z). Дилогарифм определяется как

\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z\frac{\ln(1-t)}{t}\,\mathrm{d}t = \sum_{j=1}^\infty \frac{z^j}{j^2}\;.

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z. Для действительных значений z=x у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 до \infty. Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2(x)\right] = \left\{ 0 \;\; (x\leq 1); \quad - \pi\ln{x} \;\; (x>1) \right\}

Функцию \operatorname{Li}_2(z) часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function), в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)[2], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие -\mathrm{Li}_2(-z) и \mathrm{Li}_2(1-z). Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Функциональные соотношения[править | править исходный текст]

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z) = {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(z^2)
\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-{\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}
\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z) = {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 - \ln z \;\ln(1-z)
\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)= - {\textstyle{\frac12}} {\ln^2(1+z)}
\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+ {\textstyle{\frac12}} \operatorname{Li}_2(1-z^2)=- {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2 - \ln z \ln(1+z)
\operatorname{Li}_2(-z)+\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{z}\right)= - {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2 -{\textstyle{\frac12}}\ln^2{z}

Для действительных x>1,

\operatorname{Li}_2(x)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{x}\right)= {\textstyle{\frac{1}{3}}} \pi^2 -{\textstyle{\frac12}}\ln^2{x} - {\rm i}\pi\ln{x}

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

\operatorname{Li}_2(xy) = \operatorname{Li}_2(x) + \operatorname{Li}_2(y) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{x(1-y)}{1-xy}\right) - \operatorname{Li}_2\left(\frac{y(1-x)}{1-xy}\right)-\ln\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)\ln\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)

Частные значения[править | править исходный текст]


\operatorname{Li}_2(0)=0

\operatorname{Li}_2(1)= {\textstyle{\frac{1}{6}}} \pi^2

\operatorname{Li}_2(-1) = - {\textstyle{\frac{1}{12}}} \pi^2

\operatorname{Li}_2({\textstyle{\frac12}})={\textstyle{\frac{1}{12}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac12}}\ln^2{2}

Используя соотношение между функциями от x и 1/x, получаем


\operatorname{Li}_2(2) =  {\textstyle{\frac{1}{4}}} \pi^2 - {\rm i} \pi \ln{2}

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением  \phi = {\textstyle{\frac12}}(1+\sqrt{5}) ,

\operatorname{Li}_2(-\phi)=-{\textstyle{\frac{1}{10}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}
\operatorname{Li}_2(-\phi^{-1})=-{\textstyle{\frac{1}{15}}} \pi^2 + {\textstyle{\frac12}} \ln^2{\phi}
\operatorname{Li}_2(\phi^{-1})= {\textstyle{\frac{1}{10}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}
\operatorname{Li}_2(\phi^{-2})= {\textstyle{\frac{1}{15}}} \pi^2 - \ln^2{\phi}

а также для дилогарифма мнимого аргумента,


\operatorname{Li}_2(\pm{\rm i}) =  - {\textstyle{\frac{1}{48}}} \pi^2 \pm {\rm i} G

где Gпостоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{3}}}\right)-{\textstyle{\frac{1}{6}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)={\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2-{\textstyle{\frac{1}{6}}}\ln^2{3}
\operatorname{Li}_2\left(-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)+{\textstyle{\frac{1}{6}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=-{\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+\ln{2}\;\ln{3}-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln^2{2}-{\textstyle{\frac{1}{3}}}\ln^2{3}
\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{4}}}\right)+{\textstyle{\frac{1}{3}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)={\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+2\ln{2}\;\ln{3}-2\ln^2{2}-{\textstyle{\frac{2}{3}}}\ln^2{3}
\operatorname{Li}_2\left(-{\textstyle{\frac{1}{3}}}\right)-{\textstyle{\frac{1}{3}}}\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=-{\textstyle{\frac{1}{18}}}\pi^2+{\textstyle{\frac{1}{6}}}\ln^2{3}
\operatorname{Li}_2\left(-{\textstyle{\frac{1}{8}}}\right)+\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{9}}}\right)=-{\textstyle{\frac{1}{2}}}\ln^2\!\left({\textstyle{\frac{9}{8}}}\right)
36\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{2}}}\right)-36\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{4}}}\right)-12\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{8}}}\right)+6\operatorname{Li}_2\left({\textstyle{\frac{1}{64}}}\right)={\pi}^2

Функции, связанные с дилогарифмом[править | править исходный текст]

  • Функция Клаузена \operatorname{Cl}_2(\theta)
Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right) = {\textstyle{\frac{1}{6}}}\pi^2 - {\textstyle{\frac{1}{4}}}\theta (2\pi-\theta) + {\rm i}\;\operatorname{Cl}_2(\theta), \quad (0\leq\theta\leq2\pi)
Таким образом,
\operatorname{Cl}_2(\theta)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)\right]
= {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2\left(e^{{\rm i}\theta}\right)-\operatorname{Li}_2\left(e^{-{\rm i}\theta}\right)\right]
  • Функция Лобачевского
Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
L(\theta)=-\int_0^{\theta}{\rm d}\tau\; \ln|\cos\tau| = -{\textstyle{\frac{1}{2}}} \operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta) + \theta\ln{2}
Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
\Lambda(\theta) = -\int_0^{\theta}{\rm d}\tau\; \ln|2\sin\tau| = {\textstyle{\frac{1}{2}}} \operatorname{Cl}_2(2\theta)
  • Интегральный арктангенс \operatorname{Ti}_2(y)
Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
\operatorname{Li}_2({\rm i}y) = {\textstyle{\frac{1}{4}}}\operatorname{Li}_2(-y^2)+{\rm i}\;\operatorname{Ti}_2(y)
Таким образом,
\operatorname{Ti}_2(y)=\operatorname{Im}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)\right]
= {\textstyle{\frac{1}{2{\rm i}}}}\left[\operatorname{Li}_2({\rm i}y)-\operatorname{Li}_2(-{\rm i}y)\right]
Эта функция выражается через дилогарифмы как
\chi_2(z) = \sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{z^{2j+1}}{(2j+1)^2} = {\textstyle{\frac{1}{2}}} \left[ \operatorname{Li}_2(z)-\operatorname{Li}_2(-z) \right]
В частности, \chi_2({\rm i}y)={\rm i}\operatorname{Ti}_2(y).

Примечания[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

  • Leonard Lewin, Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR0105524
  • Leonard Lewin, Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
  • Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
  • Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.