Диполь (электродинамика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика
Магнитное поле Земли примерно совпадает с полем диполя. Однако «N» и «S» (северный и южный) полюса отмечены «географически», то есть противоположно принятому обозначению для полюсов магнитного диполя.

Дипо́ль — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого, вообще говоря, более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы. Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка[1]. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

  1. размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
  2. член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
  3. в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя — два заряда, равных по величине и противоположных по знаку, находящихся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Дипольный момент системы[править | править исходный текст]

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Электрический диполь[править | править исходный текст]

Силовые линии электрического диполя

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора \vec l, проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов q\,, называется дипольным моментом: \vec d=q\vec l.

Во внешнем электрическом поле \vec E на электрический диполь действует момент сил {\vec d}\times{\vec E}, который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна -{\vec E}\cdot{\vec d}. (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя - его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием R\, как R^{-3}, то есть быстрее, чем у точечного заряда (E \sim R^{-2}).

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом \vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i, где q_i\, — заряд i-го элемента, {\vec r}_i — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь[править | править исходный текст]

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади S\,, по которой течёт ток I\,. При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину {\vec \mu} = I S {\vec n}, где {\vec n} — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента \vec M, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного Uдиполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент \vec m и вектор магнитной индукции \vec B:

\vec M = \vec m \times \vec B,
U = - \vec m \cdot \vec B.

Поле колеблющегося диполя[править | править исходный текст]

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем \mathbf{d}(t), находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях (ближняя зона)[править | править исходный текст]

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

\mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} +
\frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot{\mathbf{d}}) - \dot{\mathbf{d}}}{c R^2} +
\frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot{\mathbf{d}}) - \ddot{\mathbf{d}}}{c^2 R}
\mathbf{B} = \left[\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c R^2} + \frac{\ddot{\mathbf{d}}}{R c^2} , \mathbf{n} \right] = 
\left[\mathbf{n} , \mathbf{E} + \frac{\mathbf{d}}{R^3}\right],

где \mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R} — единичный вектор в рассматриваемом направлении, c — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

\mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right).

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что \mathbf{d} является функцией одной переменной. Тогда

\mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z},
\mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot{\mathbf{Z}}.

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

\mathbf{A} = - \frac{\dot{\mathbf{Z}}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z}.

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)[править | править исходный текст]

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для \mathbf{E} и \mathbf{B} существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от \mathbf{d}, так как

\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c} \approx \frac{d}{\lambda},
\frac{\ddot{\mathbf{d}}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}.

Выражения для полей принимают вид

\mathbf{B} = \frac{1}{c^2 R}[\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}], ~~ \mathbf{B} = [\mathbf{n} , \mathbf{E}],
\mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}].

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол do равна

dI = c \frac{H^2}{4\pi}R^2 do,

поэтому для дипольного излучения

dI = \frac{1}{4 \pi c^3}[\ddot{\mathbf{d}}, \mathbf{n}]^2 do 
= \frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} do.

где \theta — угол между векторами \ddot{\mathbf{d}} и \mathbf{n}. Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что do = 2\pi\, \sin{\theta}\, d\theta, проинтегрируем выражение по d\theta от 0 до \pi. Полное излучение равно

I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot{\mathbf{d}}}^2.

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора \ddot{\mathbf{d}} на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Для случая электростатики, магнитостатики итп это означает сохранение в потенциале членов со степенями радиус-вектора от диполя к точке наблюдения -1 и -2; в случае же чисто дипольного поля (когда система источников имеет нулевой суммарный заряд) только степени -2.

Литература[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]