Дискретное преобразование Абеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математическом анализе дискретным преобразованием А́беля называют представление произведения частичных сумм рядов в следующем виде:

\sum\limits_{k=n}^m a_k b_k = \sum\limits_{k=n}^{m-1} A_k (b_k - b_{k+1}) + A_m b_m ,

где \sum\limits_{k=1}^\infty a_k, \sum\limits_{k=1}^\infty b_k — ряды, а A_k — частичная сумма (по элементам от 1 до k включительно) или отрезок (сумма по номерам от n до k, где n < k) ряда \sum\limits_{k=1}^\infty a_k.

Преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля и используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство[править | править вики-текст]

Есть две последовательности (a_n) \, и (b_n) \,, при n \in \N. Рассмотрим следующий ряд :
S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

Положим B_n = \sum_{k=0}^n b_k ,
тогда для всех n>0, b_n = B_n - B_{n-1} \,

S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})
S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})
В итоге получаем следующее равенство : S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)