Диффеоморфизм Аносова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, области математики, диффеоморфизмы Аносова — введённый Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

Определение[править | править вики-текст]

Диффеоморфизм f:M\rightarrow M — диффеоморфизм Аносова, если он гиперболичен на всём многообразии M. А именно: существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, Eu и Es, инвариантных относительно динамики, причём на Eu динамика экспоненциально растягивает, а на Es экспоненциально сжимает:


\|f^n(v)\| \le c_1\,\lambda^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^s,

\|f^n(v)\| \ge c_2\,\mu^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u,

где c_1,c_2>0 и \mu>1>\lambda>0 — константы.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C1-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой сопряжен f некоторым гомеоморфизмом h:

f\circ h = h\circ g.
Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой координат (правда, лишь непрерывной!).
  • Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

\|f^{-n}(v)\| \le c_3\, \mu^{-n} \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u.

Примеры[править | править вики-текст]

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right) на двумерном торе \mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2.

Более обще, если матрица A\in SL_n(\mathbb{Z}) не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор \mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n (корректно определённый, поскольку A сохраняет \mathbb{Z}^n) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература[править | править вики-текст]

  • Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1