Дифференциальная теория Галуа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предпосылки и основная идея[править | править вики-текст]

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от e^{-x^2} (то есть выразить функцию ошибок в элементарных функциях), \frac{\sin x}{x}, x^x.

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная e^{-x^{2}} станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным[источник не указан 282 дня].

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, \mathcal{D}. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Определения[править | править вики-текст]

Для любого дифференцируемого поля F, есть подполе

\operatorname{Con}\,F =\{f\in F\,|\,\mathcal{D}f=0\} ,

которое называется полем констант F. Для двух дифференциальных полей F и G, G называется логарифмическим расширением F, если G является простым трансцендентным расширением F (то есть G=F(t) для некоторого трансцендентного t), так что

\mathcal{D}t = \frac{\mathcal{D}s}{s} для некоторого s\in F.

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе t, как логарифм некоторого s из F, и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в F не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений F. Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

\mathcal{D}t=t*\mathcal{D}s.

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от s из F. Наконец, G называется элементарным дифференциальным расширением F, если имеется конечная цепочка подполей от F до G, где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Примеры[править | править вики-текст]

Поле \C(x) рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа \C.

Основная теорема[править | править вики-текст]

Предположим, что F и G — дифференциальные поля, для которых \operatorname{Con}\,F=\operatorname{Con}\,G, и G является элементарным дифференциальным расширением F. Пусть a принадлежит F, а y — G и, кроме того \mathcal{D}y=a (то есть, G содержит первообразную a). Тогда существуют c_1,\dots,c_n\in\operatorname{Con}\,F, u_1,\dots,u_n,v\in F такие, что

a = c_1\frac{\mathcal{D}u_1}{u_1}+\dots+c_n\frac{\mathcal{D}u_n}{u_n}+\mathcal{D}v

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями плюс конечное число логарифмов простых функций.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]