Дифференциальная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́льная фо́рма порядка k или k-форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0, k) на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k-форм на многообразии M обычно обозначают \Omega^k(M).

Определения[править | править вики-текст]

Инвариантное[править | править вики-текст]

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k, или просто k-форма — это гладкое сечение \wedge^k T^* M, то есть k-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

  • значение k-формы на наборе из k штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
  • значение k-формы в точке x многообразия есть кососимметрический k-линейный функционал на T_xM.

Через локальные карты[править | править вики-текст]

k-формой на \mathbb{R}^n будем называть выражение следующего вида

\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}

где f_{i_1i_2\ldots i_k} — гладкие функции, dx^i — дифференциал i-ой координаты x^i (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i ), а \wedge — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Для k-формы \omega, её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это (k+1)-форма, в координатах имеющая вид d\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
  • для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть 0-форм, затем дифференциал 1-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по R-линейности и градуированному правилу Лейбница:
    • dF(v)=v(F) — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
    • d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - \omega ( [u,v] ) — значение дифференциала 1-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
    • \ d (\omega^k \wedge\vartheta^p) = (d\omega^k) \wedge\vartheta^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \vartheta^p) — где верхние индексы k и p обозначают порядки соответствующих форм.
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
  • Факторгруппа H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} замкнутых k-форм по точным k-формам называется k-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы \omega степени n по векторному полю \mathbf{v} (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма
i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_{n-1}) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_{n-1})

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для дифференциалов форм \omega_F векторного поля F справедливо:
 d(d \omega_F) = 0
d(\omega_F^0) = \omega_{grad F}^1
d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2
d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3
d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4
  • Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k векторов.
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
    \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
  • Для любой формы справедливо d(d\omega)=0.

Примеры[править | править вики-текст]

  • С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p многообразия M и отображающий элементы касательного пространства T_p (M) в множество вещественных чисел \R:
    \omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R
  • Форма объёма — пример n-формы на n-мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма \omega на 2n-многообразии, такая что \omega^n\not=0.

Применения[править | править вики-текст]

Векторный анализ[править | править вики-текст]

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть I — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а * — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

\operatorname{rot}\,v = *\,d\,I (v)
\operatorname{div}\,v = *^{-1} d\,* (v)

Дифференциальные формы в электродинамике[править | править вики-текст]

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}
\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}

где * — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма * \mathbf{F} также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика[править | править вики-текст]

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M с заданными на нём симплектической формой \omega и функцией H, называемой функцией Гамильтона. \omega задаёт в каждой точке X \in M изоморфизм I кокасательного T^{*}_{X}M и касательного T_{X}M пространств по правилу

dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M,

где dH — дифференциал функции H. Векторное поле I dH на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F и G на M определяется по правилу

[F, G] = \omega( I dF, I dG)

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M со значениями в векторном расслоении \pi\colon E \to M определяются как сечения тензорного произведения расслоений

\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение T M.

Литература[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  • Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также[править | править вики-текст]