Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка $k$ или $k$-форма — кососимметрическое тензорное поле типа $(0, k)$ на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство $k$-форм на многообразии $M$ обычно обозначают $\Omega^k(M)$.

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени $k$, или просто $k$-форма — это гладкое сечение $\wedge^k T^* M$, то есть $k$-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

• значение $k$-формы на наборе из $k$ штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
• значение $k$-формы в точке $x$ многообразия есть кососимметрический $k$-линейный функционал на $T_xM$.

Через локальные карты

$k$-формой на $\mathbb{R}^n$ будем называть выражение следующего вида

$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где $f_{i_1i_2\ldots i_k}$ — гладкие функции, $dx^i$ — дифференциал $i$-ой координаты $x^i$ (функция от вектора, возвращающая его координату с номером $i$ ), а $\wedge$ — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

• Для $k$-формы $\omega$, её внешний дифференциал (также просто дифференциал) это $(k+1)$-форма, в координатах имеющая вид $d\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

• для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть $0$-форм, затем дифференциал $1$-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по $R$-линейности и градуированному правилу Лейбница:
  • $dF(v)=v(F)$ — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
  • $d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - [u,v]$ — значение дифференциала $1$-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на коммутатор.
  • $\ d (\omega^k \wedge\vartheta^p) = (d\omega^k) \wedge\vartheta^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \vartheta^p)$ — где верхние индексы $k$ и $p$ обозначают порядки соответствующих форм.
• Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
• k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой $(k-1)$-формы.
• Факторгруппа $H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}$ замкнутых k-форм по точным k-формам называется $k$-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
• Внутренней производной формы $\omega$ по векторному полю $\mathbf{v}$ называется форма

$i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)$

Свойства

• Для дифференциалов форм $\omega_F$ векторного поля $F$ справедливо:

$d(d \omega_F) = 0$

$d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1$

$d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2$

$d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3$

$d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4$

• Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от $k$ векторов.
• Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:

  $\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)$

• Для любой формы справедливо $d(d\omega)=0$.

Примеры

• С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке $p$ многообразия $M$ и отображающий элементы касательного пространства $T_p (M)$ в множество вещественных чисел $\R$:

  $\omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R$

• Форма объёма — пример $n$-формы на $n$-мерном многообразии.
• Симплектическая форма — замкнутая 2-форма $\omega$ на $2n$-многообразии, такая что $\omega^n\not=0$.

Применения

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть $I$ — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и $\sigma$ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на $M$. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на $M$. Тогда ротор и дивергенцию для полей на $\R^3$ можно представить как

$\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)$

$\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

$\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}$

$\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}$

где $*$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $* \mathbf{F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие $M$ с заданными на нём симплектической формой $\omega$ и функцией $H$, называемой функцией Гамильтона. $\omega$ задаёт в каждой точке $X \in M$ изоморфизм $I$ кокасательного $T^{*}_{X}M$ и касательного $T_{X}M$ пространств по правилу

$dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M$,

где $dH$ — дифференциал функции $H$. Векторное поле $I dH$ на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций $F$ и $G$ на $M$ определяется по правилу

$[F, G] = \omega( I dF, I dG)$

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от $k$ векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на $M$ со значениями в векторном расслоении $\pi\colon E \to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение $T M$.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
• Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также

• Внешняя алгебра
• Когомологии де Рама
• Теорема Стокса
• Дифференциальные формы в электродинамике