Дифференциальное включение (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

\frac{dx}{dt} \in F(t,x), \qquad (*)

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных t \in \mathbb{R} и x \in \mathbb{R}^n непустое компактное множество \,F(t,x) в пространстве \mathbb{R}^n. Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию \,x(t), которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях \,t. Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим управляемую систему

\frac{dx}{dt} = f(t,x,u), \quad u(t) \in U, \qquad (**)

где U \subset \mathbb{R}^m есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив F(t,x)=f(t,x,U)= \{f(t,x,u) \ : \ \forall u\in U\}. При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения x(t)\, включения (*) существует такое допустимое управление u(t) \in U, что функция x(t)\, будет являться траекторией системы (**) с этим управлением.

Связанные понятия[править | править вики-текст]

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции x(t)\, в точке t_0\, называется множество \textrm{Cont}\ x(t_0)\, всех предельных точек последовательностей

\frac{x(t_i)-x(t_0)}{t_i-t_0}, \quad t_i \to t_0, \quad i=1,2,\ldots

Паратингенцией вектор-функции x(t)\, в точке t_0\, называется множество \textrm{Parat}\ x(t_0)\, всех предельных точек последовательностей

\frac{x(t_i)-x(t_j)}{t_i-t_j}, \quad t_i \to t_0, \quad t_j \to t_0,  \quad i=1,2,\ldots

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции x(t)=|t| в точке t_0=0 множество \textrm{Cont}\ x(0) состоит из двух точек: \pm 1, а множество \textrm{Parat}\ x(0) является отрезком [-1,+1].\,

Вообще, всегда \textrm{Cont} \subset \textrm{Parat}. Если существует обычная производная \,x'(t_0), то \textrm{Cont} \ x(t_0) = x'(t_0), а если обычная производная \,x'(t) существует в некоторой окрестности точки t_0 и непрерывна в самой этой точке, то \textrm{Cont}\ x(t_0)= \textrm{Parat} \ x(t_0) = x'(t_0).

Литература[править | править вики-текст]

  • Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
  • Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
  • Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
  • А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
  • А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
  • A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).