Дифференциальное исчисление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной (дифференциала) в их применении к исследованию функций.

Содержание

1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
2 См. также

[править] Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Наиболее просто основные теоремы дифференциального исчисления формулируются для гладких функций.

[править] Производные и гладкие функции

Пусть функция $g (h)$ определена в окрестности $h = 0$ и для любого $ε$ найдется такое $δ$ , что

| g (h) / h n | < ε

, лишь только

| h | < δ,

тогда говорят, что $g (h)$ - бесконечно малое порядка $o (h n)$ .

Пусть $f (x)$ - вещественнозначная функция, заданная на отрезке $(a, b)$ . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале $(a, b)$ , если

$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2!}f''(x)h^2+ \dots \frac{1}{n!}f^{(n)}(x)h^n + o(h^n)$

для любого $x\in(a,b)$ и любого $n$ . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается полиномом. Гладкие на отрезке $(a, b)$ функции образуют кольцо гладких функций $C^\infty(a,b)$ .

Коэффициенты $f (n) (x)$ сами оказываются гладкими функциями на рассматриваемом отрезке, причем

$f^{(m)}(x+h)=f^{(m)}(x)+f^{(m+1)}(x)h+ \dots \frac{1}{n!}f^{(m+n)}(x)h^n + o(h^n)$

Эти функции называют производными функции $f (x)$ . Первая производная может быть вычислена как предел

$f'(x)=\lim\limits_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ .

Оператор, сопоставляющий функции $f (x)$ ее производную $f'(x)$ обозначают как

$D= \frac{d}{dx}$

При этом для двух гладких функций f и g верно

D (f + g) = D f + D g

и

D (f g) = f D g + g D f

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке $(a, b)$ , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые – нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

[править] Касательная прямая

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Прямая

y = f (c) + f'(c)(x - c)

пересекает кривую

y = f (x)

в точке $(c, f (c))$ таким образом, что знак выражения

$f(x)-f(c)-f'(c)(x-c)=\frac{1}{2}f''(c)(x-c)^2+o((x-c)^2)$

при условии $f''(c)\not =0$ все время остается одним и тем же, поэтому кривая

y = f (x)

лежит по одну сторону от прямой

y = f (c) + f'(c)(x - c)

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке $x = c$ (по Б. Кавальери). Точку $x = c$ , в которой кривая

y = f (x)

не лежит по одну сторону от прямой

y = f (c) + f'(c)(x - c)

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

[править] Точки экстремума

Точка $x = c$ называется точкой локального максимума (минимума), если

$f(c)-f(c+h)>0 \quad (f(c)-f(c+h)<0 )$

для всех достаточно малых по модулю $h$ . Из соотношения

$f'(c)h+\frac{1}{2}f''(c)h^2+ o(h^2)<0$

сразу видно, что $f'(c) = 0$ - необходимое условие максимума, а $f''(c) < 0$ - достаточное условие максимума. Условие $f'(c) = 0$ выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

[править] Непрерывные функции

Пусть $f$ определена и на концах интервала $[a, b]$ ; говорят, что она непрерывна на $[a, b]$ , если для любого $ε$ найдется такое $δ$ , что

| f (x) - f (x + h) | < ε

, лишь только

| h | < δ,

и точки $x,\, x+h$ не выходят за границы интервала $[a, b]$ . Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале $[a, b]$ функции образуют кольцо непрерывных функций $C [a, b]$ .

[править] Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на $[a, b]$ и гладких на $(a, b)$ функций обладает рядом важных свойств:

Теорема Ролля: если $f (a) = f (b) = 0$ , то имеется точка $c\in (a,b)$ максимума или минимума, в которой $f'$ обращается в нуль.
Теорема Лагранжа: существует такая точка $c\in (a,b)$ , что

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

Теорема Коши: если $g'\not =0$ на $(a, b)$ , то существует такая точка $c\in (a,b)$ , что

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезка $(a',b')\subset (a,b)$ найдутся такие точки $c n$ , что