Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Скалярные операторы

Пусть $\Bbbk$ — поле, $A$ — алгебра над полем $\Bbbk$, коммутативная и с единицей и $\Delta \colon A\to A$ — $\Bbbk$-линейное отображение, $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$. Всякий элемент алгебры $a\in A$ можно понимать как оператор умножения: $a(b)=ab,\ b\in A$. Операторы $a$ и $\Delta$, вообще говоря, не коммутируют и равенство $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ будет выполняться в том и только том случае, когда $\Delta$ — $A$-гомоморфизм.

Определение 1. $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ называется дифференциальным оператором (ДО) порядка $\leq n$ из $A$ в $A$, если для любых $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

$[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.$

Множество всех ДО порядка $\leq n$ из $A$ в $A$ обозначается $\mathrm {Diff} _{n}A$. Сумма двух ДО порядка $\leq n$ будет снова ДО порядка $\leq n$ и множество $\mathrm {Diff} _{n}A$ устойчиво относительно как левого, так и правого умножения на элементы алгебры $A$, поэтому оно снабжается естественной структурой бимодуля над $A$.

Дифференцирования

Точками алгебры $A$ называются $\Bbbk$-гомоморфизмы из $A$ в $\Bbbk$. Обозначим множество всех точек алгебры $A$, снабженное топологией Зарисского, через $\vert A\vert$. Элементы алгебры $A$ можно понимать как функции на пространстве $\vert A\vert$, положив $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$.

Определение 2. Отображение $\Delta _{z}\colon A\to \Bbbk$ называется касательным вектором к пространству $\vert A\vert$ в~точке $z\in \vert A\vert$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница в этой точке:

$\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.$

Множество $T_{z}\vert A\vert$ всех касательных векторов в~точке $z\in \vert A\vert$ обладает естественной структурой векторного пространства над $\Bbbk$. Оно называется касательным пространством пространства $\vert A\vert$ в точке $z$.

Определение 3. Отображение $\Delta \colon A\to A$ называется дифференцированием алгебры $A$ со значениями в $A$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

$\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.$

Множество $D(A)$ всех дифференцирований алгебры $A$ со значениями в $A$ обладает естественной структурой левого $A$-модуля. (Правое умножение не сохраняет это множество.) Всякое дифференцирование $\Delta$ определяет семейство касательных векторов $\Delta _{z}$ для всех точек $z\in \vert A\vert$: $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$.

Дифференцирования, естественно, являются ДО порядка $\leq 1$:

$D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \}$.

Определен естественный изоморфизм левых $A$-модулей

$\mathrm {Diff} _{1}A=D(A)+A.$

Гладкие функции

Если $A=C^{\infty }(M)$ — алгебра гладких функций на многообразии $M$, то $\vert C^{\infty }(M)\vert$ естественным образом наделяется структурой гладкого многообразия и оказывается, что $\vert C^{\infty }(M)\vert =M$.

Теорема. Пусть $\Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ и $x_{1},\dots ,x_{n}$ — система локальных координат в некоторой окрестности $U\subset M$. Тогда ограничения $\Delta$ и $\nabla$ на $U$ могут быть записаны в следующем виде

$\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}},\quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)$

$\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |}}{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)$

Иными словами, для алгебры гладких функций на М "алгебраическое" определение ДО совпадает с классическим, а дифференцирования алгебры $C^{\infty }(M)$ — это векторные поля на $M$.

Общий случай

Пусть $P,\ Q$ — модули над $A$. Определения 1 и 3 без изменений переносятся на этот случай:

Определение 4. $\Bbbk$-гомоморфизм $\Delta \colon Q\to P$ называется линейным дифференциальным оператором порядка $\leq n$ из $Q$ в~$P$, если для любых $a_{0},\dots ,a_{n}\in A$

$[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0$

Определение 5. Отображение $\Delta \colon A\to A$ называется дифференцированием алгебры $A$ со значениями в $P$, если оно удовлетворяет правилу Лейбница:

$\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.$

Множество $\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)$ всех ДО порядка $\leq n$ из $Q$ в $P$ является бимодулем над $A$, а множество $\mathrm {D} (P)$ всех дифференцирований $A$ в $P$ — левым $A$-модулем.

Если $A=C^{\infty }(M)$ — алгебра гладких функций на многообразии $M$, то проективные конечнопорождённые $A$-модули есть не что иное, как модули сечений конечномерных векторных расслоений над $M$. В этом случае определение 4 описывает ДО на векторнозначных функциях, переводящие их в векторнозначные функции, а определение 5 — векторнозначные векторные поля.

Представляющие объекты и геометризация

Функторы $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ и $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$ представимы:

Теорема. 1. Существуют единственные $A$-модуль $\Lambda$ и дифференцирование $d\colon A\to \Lambda$, такие, что для любого $A$-модуля $Q$ имеет место естественный изоморфизм

$\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).$

2. Существуют единственные $A$-модуль ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ и ДО $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ порядка $\leq n$, такие, что для любого $A$-модуля $Q$ имеет место естественный изоморфизм

$\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P,Q).$

Дифференцирование $d$ и ДО $j_{n}$ называются универсальным дифференцированием и универсальным ДО порядка $\leq n$ соответственно, а модули $\Lambda$ и ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ — модулем дифференциальных форм первого порядка и модулем джетов порядка $n$. (Иногда вместо термина "джет" употребляют термин "струя".)

Модули ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ и $\Lambda$ довольно просто описываются "на пальцах". Именно, $A$-модуль ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ порожден всевозможными элементами вида $j_{n}(p),\ p\in P$, для которых выполнены следующие соотношения:

$j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P$,

${\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)=0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A$,

где ${\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p)-a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)$, и так далее.

Аналогично, $A$-модуль $\Lambda$ порожден всевозможными элементами вида $da,\ a\in A$, для которых выполнены следующие соотношения:

$d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A$,

$d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A$.

Естественно было бы и здесь ожидать, что для алгебры $A=C^{\infty }(M)$ дифференциальные формы окажутся "обычными" дифференциальными формами на многообразии $M$, а джеты — "обычными" джетами, но это не так. Причиной тому является существование в алгебраических конструкциях невидимых элементов, то есть ненулевых элементов, которые, тем не менее, равны нулю в каждой точке многообразия $M$. Например, пусть $M=\mathbb {R} ^{1}$, дифференциальная форма $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ отлична от нуля, но $(e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1}$. Модули над $C^{\infty }(M)$, не содержащие невидимых элементов, называют геометрическими. Для любого $C^{\infty }(M)$-модуля $S$ множество всех невидимых элементов образует подмодуль, фактор по которому является геометрическим модулем и обозначается $G(S)$. Модули $G(\Lambda )$ и $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$, где $P$ — геометрический модуль, будут представляющими объектами для функторов $\mathrm {D}$ и $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad )$ в категории геометрических модулей над $A=C^{\infty }(M)$. Они оказываются изоморфными модулю "обычных" дифференциальных форм и модулю "обычных" джетов соответственно.

Градуированные алгебры

Эта теория легко переносятся на случай градуированных алгебр (в старой терминологии — супералгебр), где, в частности, дает новый взгляд на такие конструкции, как интегральные формы и интеграл Березина.

Приложения

Тот факт, что дифференциальное исчисление является разделом коммутативной алгебры, интересен сам по себе и тесно связан с одним из важнейших физических понятий --- понятием наблюдаемой. Инвариантные алгебраические конструкции позволяют работать там, где классический координатный подход слишком громоздок, или вообще невозможен, например в случае многообразий с особенностями или бесконечномерных. Они используются в гамильтоновой и лагранжевой механике, теории законов сохранения, вторичном исчислении, не говоря уже об алгебраической и дифференциальной геометрии.

Историческая справка

Определение ДО в категории модулей над коммутативными алгебрами появилось, независимо друг от друга, в работах П. Габриеля, С. Судзуки и А. М. Виноградова. Однако всю важность алгебраического подхода к ДО, видимо, осознал только А. М. Виноградов и основной вклад в развитие этой теории внесен им и его учениками.

См. также

• Коммутативная алгебра
• Гамильтонова механика
• Дифференциальная алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Связность (некоммутативная геометрия)

Литература

• Джет Неструев, Гладкие многообразия и наблюдаемые, МЦНМО, Москва, 2000.
• А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, Что такое гамильтонов формализм? // Успехи математических наук. — 1975. — Т. 30, выпуск 1(181), — стр. 173–198.
• А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, В. В. Лычагин, Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений, Глава 1. Линейные дифференциальные операторы в коммутативных алгебрах М., Наука, 1986.
• А. М. Виноградов, Некоторые гомологические системы, связанные с дифференциальным исчислением в коммутативных алгебрах // Успехи математических наук. — 1979. — Т. 34, выпуск 6(210), — стр. 145–150.
• I. S. Krasil’shchik, Lectures on Linear Differential Operators over Commutative Algebras. Eprint DIPS-01/98
• Algebraic aspects of differential calculus, edited by Joseph Krasil'shchik and Alexandre Vinogradov, — Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, Volume 49, Issue 3, December 1997, 321 pages, ISSN: 0167-8019. (Статьи этого выпуска по отдельности доступны в электронном виде: DIPS-01/96, DIPS-02/96, DIPS-03/96, DIPS-04/96, DIPS-05/96, DIPS-06/96, DIPS-07/96, DIPS-08/96).
• I. S. Krasil’shchik, A. M. Verbovetsky, Homological Methods in Equations of Mathematical Physics, Open Ed. and Sciences, Opava (Czech Rep.), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2.
• Alexandre M. Vinogradov, Logic of differential calculus and the zoo of geometric strujctures, arXiv:1511.06861.
• A. M. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, — AMS "Translation of Mathematical Monographs" series, vol. 204, 247 pages, 2001.