Дифференциальное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса
Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путем решения уравнения теплопроводности
График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, \ f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением.[источник?]

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Терминология и классификация[править | править вики-текст]

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных[1].

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

История[править | править вики-текст]

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном(1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0\! или F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,

где ~y=y(x) — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной ~x, штрих означает дифференцирование по ~x. Число ~n называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Порядок дифференциального уравнения[править | править вики-текст]

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка[править | править вики-текст]

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),\!

где функции P(t,x) и Q(t,x) определены и непрерывны в некоторой области \Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}.

Дифференциальные уравнения в частных производных[править | править вики-текст]

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,

где x_1, x_2,\dots, x_m — независимые переменные, а z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

~p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x),

где pi(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора  \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2 y = 0 может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника  \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2\sin y = 0 для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.

Примеры[править | править вики-текст]

  • y''+9y=0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций y = (C_1 \cos 3x  + C_2 \sin 3x), где C_1 и C_2 — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
  • Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t), где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
  • Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка:  \frac{du}{dx} = u^2 + 1.

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y.

  • Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
 \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0.
  • Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если u=u(x,t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:
\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
  • Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:
 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.
 \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}.

Важнейшие дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Обыкновенные дифференциальные уравнения[править | править вики-текст]

Уравнения в частных производных[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1988. — 686 с.

Литература[править | править вики-текст]

Энциклопедии и справочники[править | править вики-текст]


  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
  • Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
  • Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
  • Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф.. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002 .

Учебники[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И.. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
  • Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
  • Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
  • Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.
  • Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
  • Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

Ссылки[править | править вики-текст]